游乐场的过山车可以抽象成如图1所示的模型:圆弧轨道的下端与圆轨道相接于M点.使一质量为m的小球从弧形轨道上距M点竖直高度为h处滚下.小球进入半径为R的圆轨道下端后沿该圆轨道运动．实验发现.只要h大于一定值.小球就可以顺利通过圆轨道的最高点N．不考虑摩擦等阻力．(1)若h=5R.求小球通过M点时对轨道的压力,(2)若改变h的大小.小球通过最高点时的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

游乐场的过山车可以抽象成如图1所示的模型：圆弧轨道的下端与圆轨道相接于M点，使一质量为m的小球从弧形轨道上距M点竖直高度为h处滚下，小球进入半径为R的圆轨道下端后沿该圆轨道运动．实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点N．不考虑摩擦等阻力．
（1）若h=5R，求小球通过M点时对轨道的压力；
（2）若改变h的大小，小球通过最高点时的动能E_k也随之改变，试通过计算在E_k-h图2中作出E_k随h变化的关系图象．

分析：（1）小球由高度为h=5R处下落至到达M点过程中，轨道的支持力不做功，只有重力做功，运用机械能守恒列式，即可求出小球通过M点时的速度大小．小球通过M点时由重力和轨道的支持力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律列式求出支持力，再由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力．
（2）根据根据机械能守恒定律列式求解得到E_k与h的关系式，结合临界条件并画出图象．

解答：

解：（1）下滑过程中，有：mgh=

mvM2

在M点，有：F_支-mg=m

vM2

解得：F_压=F_支=11mg
（2）从下滑到N点，有：mgh'=E_k=

mv_N²
即：mg（h-2R）=E_k
因小球要能通过N点，应有：mg≤

mvM2

故 h'≥

R，即 h≥

R
则E_k随h变化的关系图象如图所示．
答：（1）小球通过M点时对轨道的压力为11mg；
（2）作出E_K随h的变化关系式为mg（h-2R）=E_k
图象如图所示．

点评：本题关键是明确小球的运动规律，知道圆轨道最高点重力和支持力的合力提供向心力，同时要结合机械能守恒定律列式求解即可．

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