Question

有一匀强磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内，磁场方向垂直于xy平面（磁场未画出）．某时刻起一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x轴正方向．最终粒子到达y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，已知OP的距离为L，如图所示．不计重力的影响．
（1）求磁场区域的半径R及磁场的磁感强度B的大小；
（2）求带电粒子从O运动到P点的时间t；
（3）若在P点的上半部存在一与水平方向成30°的匀强电场E，则带电粒子再次到达y轴上的点Q点（未画出）时，距O点的距离S．

Answer 1

分析：（1）带电粒子垂直进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，轨迹的圆心应在y轴正方向上，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律列式求出磁感强度B的大小；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场后到P点做匀速直线运动．根据轨迹所对应的圆心角求出在磁场中运动时间，根据距离求出匀速直线运动．
（3）粒子从P点飞出后，在电场中做类平抛运动，再次到y轴时，沿电场方向与垂直电场方向的两个分位移之比等于tan30°，运用运动的分解方法，根据牛顿第二定律和运动学公式求解S．

解答：解：（1）画出磁场区域及粒子运动的轨迹如图，设粒子圆周运动的半径为r，由几何知识可得：
      r+2r=L，即得：r=

1

3

L    
磁场区域的半径为 R=

3

r=

3

3

L
由qvB=m

v2

r

可得：B=

3mv

qL

（2）粒子做匀速圆周运动的周期为：T=

2πR

v

=

2π 3 L

3v

设粒子在磁场中运动的时间为t₁，粒子在磁场中速度方向偏转120°角，则粒子轨迹所对应的圆心角为120°，则有：
   t1=

1

3

T=

2 3 πL

9v

粒子从A到P做匀速直线运动，设AP距离为d，所用时间为t₂，则：
   d=

3

r，
故t2=

d

v

=

3 L

3v

粒子从O到P所用时间为t，有：t=t1+t2=

2 3 πL

9v

+

3 L

3v

=

3 L

9v

(2π+3)
（3）粒子从P点飞出后，在电场中做类平抛运动，设所用时间为t₃，则：
   加速度为a=

qE

m

   垂直于电场方向有：X=vt₃
   沿电场方向：Y=

1

2

a

t

2 3

  又tanθ=

Y

X

，s=L+Xcosθ
联立上式，解得：s=L+

4mv2

3qE

答：
（1）磁场区域的半径R

3

3

L．磁场的磁感强度B的大小

3mv

qL

；
（2）带电粒子从O运动到P点的时间t为

3 L

9v

(2π+3)；
（3）若在P点的上半部存在一与水平方向成30°的匀强电场E，带电粒子再次到达y轴上的点Q点（未画出）时，距O点的距离S为L+

4mv2

3qE

．

点评：本题是带电粒子在组合场中运动的问题，处理磁场中圆周运动的基本方法是画轨迹，运用几何知识求出轨迹半径，电场中运用运动的分解法求解相关量．