Question

2．在光滑的水平长直轨道上，有一长度为L=1m的平板车，某时刻将一质量为m=1kg的小滑块轻放在平板车的右端，滑块与车面间的动摩擦因数为μ=0.2．整个过程中平板车在外力控制下始终保持速度v₀=4m/s水平向右做匀速直线运动．（取g=10m/s²，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.46）
（1）求小滑块从放上平板车到滑离平板车左端所用的时间；
（2）当滑块轻放到平板车右端的同时，对滑块m施加一个水平向右的恒力F，要保证滑块不能从平板车的左端掉下，恒力F大小应该满足什么条件；
（3）在（2）的情况下，力F取最小值，要保证滑块不从平板车上掉下，力F的作用总时间应该在什么范围内．

Answer 1

分析 （1）小滑块运动中，受到的合外力为滑动摩擦力，则由牛顿第二定律和运动学公式小滑块从放上平板车到滑离平板车左端所用的时间；
（2）由牛顿第二定律可求得滑块运动的加速度，而当滑块恰好到达小车的左端时恰好与小车速度相同，即可保证滑块不从车的左端掉下，则由临界条件可求得F的条件；
（3）由牛顿第二定律可求得滑块有力作用和撤去拉力后的加速度，则由平均速度公式可求得滑块的距离，由速度公式可求得小车的位移，由临界条件可得出两位移间的关系；则可求得力F作用的范围

解答 解：（1）根据牛顿第二定律，滑块的加速度
$a=\frac{μmg}{m}=μg$
滑块相对车滑动的时间t，${x}_{车}^{\;}={v}_{0}^{\;}t$，${x}_{滑块}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
滑块相对车滑动的距离${x}_{车}^{\;}=L+{x}_{滑块}^{\;}$
解得：t=3.7s（舍去），t=0.3s
（2）设恒力F取最小值${F}_{1}^{\;}$，滑块加速度为${a}_{1}^{\;}$，此时滑块恰好到达车的左端，则
滑块运动到车左端的时间${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}$
由几何关系有${x}_{车}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}$，${x}_{滑块}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}$
滑块相对车滑动的距离${x}_{车}^{\;}=L+{x}_{滑块}^{\;}$
由牛顿定律有${F}_{1}^{\;}+μmg=m{a}_{1}^{\;}$
联立上式代入数据解得：${t}_{1}^{\;}=0.5s$       ${F}_{1}^{\;}=6N$
则恒力F大小应满足条件是F≥6N
（3）力F取最小值，当滑块运动到车左端后为使滑块恰不从右端滑出，相对车先做匀加速运动（设运动加速度为${a}_{2}^{\;}$，时间为${t}_{2}^{\;}$），
再做匀减速运动（设运动加速度大小为${a}_{3}^{\;}$，时间为${t}_{3}^{\;}$），到达车右端时，与车达共同速度，则有
${F}_{1}^{\;}-μmg=m{a}_{2}^{\;}$
$μmg=m{a}_{3}^{\;}$
对滑块加速阶段：${x}_{1}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$
减速阶段：${x}_{2}^{\;}=（{v}_{0}^{\;}+{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}）{t}_{3}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{2}$
对车：${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=L+{v}_{0}^{\;}（{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}）$（也可以以平板车为参考系）
又因为：${a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}={a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{\;}$
联立上式代入数据解得：${t}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{6}}{6}≈0.41s$
则力F的作用时间t应满足${t}_{1}^{\;}≤t≤{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}$，即0.5≤t≤0.91s
答：（1）小滑块从放上平板车到滑离平板车左端所用的时间0.3s；
（2）当滑块轻放到平板车右端的同时，对滑块m施加一个水平向右的恒力F，要保证滑块不能从平板车的左端掉下，恒力F大小应该满足条件F≥6N；
（3）在（2）的情况下，力F取最小值，要保证滑块不从平板车上掉下，力F的作用总时间应该在0.5≤t≤0.91s范围内

点评 本题中关键在于临界条件的判定，要使滑块能恰好不从车上掉下，则其临界条件应为滑块刚好到达左端，且速度相等