Question

20．如图所示，光滑的水平面上固定一倾角为37°的粗糙斜面，紧靠斜面底端有一质量为4kg的木板，木板与斜面底端之间通过微小弧形轨道相达接（没有连在一起），以保证滑块从斜面上滑到木板时的速度大小不变．现有质量为2kg的滑块从斜面上高h=5m处由静止滑下，到达倾斜底端的速度为v₀=6m/s，并以此速度滑上木板左端，最终滑块没有从木板上滑下．已知滑块与木板间的动摩擦因数μ₂=0.2，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）斜面与滑块间的动摩擦因数μ₁；
（2）滑块从滑上木板到与木板速度相同经历的时间；
（3）木板的最短长度．

Answer 1

分析 （1）滑块从斜面下滑的过程，根据动能定理列式求解动摩擦因素；
（2）滑块刚好没有从木板左端滑出，说明此时它们的速度相等，由牛顿第二定律求出滑块和木板的加速度大小，由速度相等列式求时间．
（3）由位移公式分别求解出滑块和木板的位移，两者之差等于木板的最短长度．

解答 解：（1）滑块在斜面上下滑过程，由动能定理得：
mgh-μ₁mgcos37°•$\frac{h}{sin37°}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-0
代入数据得：μ₁=0.48                        
（2）滑块在木板上滑动过程中，加速度大小为：
a₁=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=2m/s²；
木板的加速度大小为：
a₂=$\frac{{μ}_{2}mg}{M}$=1m/s²                      
设滑块从滑上木板到与木板速度相同经历的时间为t，
由题意有：v₀-a₁t=a₂t
得：t=2s                                   
（3）在t时间内滑块的位移为：x₁=v₀t-$\frac{1}{2}$a₁t²；
木板的位移为：x₁=$\frac{1}{2}$a₂t²
所需木板的最短长度为：L_min=x₁-x₂
解得：L_min=6m
答：（1）斜面与滑块间的动摩擦因数μ₁为0.48；
（2）滑块从滑上木板到与木板速度相同经历的时间为2s；
（3）木板的最短长度为6m

点评 本题要在分析清楚物体运动情况的基础上，运用动力学方法解答．第1问也可以运用牛顿第二定律求加速度，由速度位移关系公式求解，但比动能定理复杂一点．