Question

如图甲所示，有一装置由倾斜轨道AB、水平轨道BC、竖直台阶CD和足够长的水平直轨道DE组成，表面处处光滑，且AB段与BC段通过一小圆弧（未画出）平滑相接。有一小球用轻绳竖直悬挂在C点的正上方，小球与BC平面相切但无挤压。紧靠台阶右侧停放着一辆小车，车的上表面水平与B点等高且右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在Q点，其中PQ段是粗糙的，Q点右侧表面光滑。现将一个滑块从倾斜轨道的顶端A处自由释放，滑至C点时与小球发生正碰，然后从小车左端P点滑上小车。碰撞之后小球在竖直平面做圆周运动，轻绳受到的拉力如图乙所示。已知滑块、小球和小车的质量分别为m₁=3kg、m₂=1kg和m₃=6kg，AB轨道顶端A点距BC段的高度为h=0.8m，PQ段长度为L=0.4m，轻绳的长度为R=0.5m。 滑块、小球均可视为质点。取g=10m/s²。求：

（1）滑块到达BC轨道上时的速度大小。
（2）滑块与小球碰后瞬间小球的速度大小。
（3）要使滑块既能挤压弹簧，又最终没有滑离小车，则滑块与PQ之间的动摩擦因数μ应在什么范围内？（滑块与弹簧的相互作用始终在弹簧的弹性范围内）

Answer 1

（1）（2）（3）

试题分析：（1） 设滑块与小球碰撞前瞬间速度为，由机械能守恒，
有         ①      （2分）
得            （1分）       
（2） 设小球在最高点的速度为v，由图乙可知小球在最高点时受到的拉力 （1分）
由牛顿第二定律，有
        ②       （2分）
设小球碰撞后瞬间速度为，由机械能守恒，有
          ③       （2分）
联立①②③并代入数据，解得         （1分）   
（3）滑块与小球碰撞过程满足动量守恒：
        ④
得碰撞后的速度   方向向右          （2分）
滑块最终没有滑离小车，滑块和小车之间必有共同的末速度
由滑块与小车组成的系统动量守恒：
          ⑤       （1分）
①若较大，则滑块可能不与弹簧接触就已经与小车相对静止，设滑块恰好滑到Q点，由能量转化与守恒有
    ⑥       （2分）
联立④⑤⑥得     
②若不是很大，则滑块必然挤压弹簧，再被弹回到PQ之间，设滑块恰好回到小车的左端P点处，由能量转化与守恒有
       ⑦       （2分）
④⑤⑦得   
综上所述，得     （2分）