Question

在如图（a）所示的正方形平面oabc内存在着垂直于该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，已知正方形边长为L．一个质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力）在t=0时刻平行于oc边从o点射入磁场中．
（1）若带电粒子从a点射出磁场，求带电粒子在磁场中运动的时间及初速度大小；
（2）若磁场的磁感应强度按如图（b）所示的规律变化，规定磁场向外的方向为正方向，磁感应强度的大小为B₀，要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的最大速度v_m．
（3）若磁场的磁感应强度按如图（b）所示的规律变化，规定磁场向外的方向为正方向，磁感应强度的大小为B₀，假使带电粒子能从oa边界射出磁场，求磁感应强度B变化周期T的最小值；

Answer 1

分析：（1）带电粒子在匀强磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，从a点射出磁场时，运动半周，由牛顿定律和几何关系求解．
（2）由牛顿定律和圆周运动公式求出粒子圆周运动的周期．根据轨迹分析在磁场变化的半个周期内，粒子圆周运动偏转角度，确定磁场变化的周期与粒子圆周运动周期的关系，磁感应强度变化的周期T．根据对称性，粒子在磁场变化的一个周期内到达b点，其圆周运动的半径最大，速度最大．由几何知识求出最大的半径，再牛顿定律求出最大的速度．
（3）画出带电粒子恰好能从oa边界射出磁场时的轨迹，分析在磁场变化的半个周期内，根据几何知识确定粒子圆周运动偏转角度，研究磁场变化的周期与粒子圆周运动周期的关系求解．

解答：解：（1）若带电粒子从a点射出磁场，则做圆周运动的半径为r=

L

2

        带电粒子在磁场中运动的周期T₀=

2πr

v

=

2πm

qB

        所需时间t=

T0

2

=

πm

qB

        又根据qv₀B=m

v 2 0

r

       得v₀=

qBL

2m

    （2）若使粒子从b点沿着ab方向射出磁场，轨迹如图．
   在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转的角度为90°，
       即

T

2

=

T0

4

   则磁场变化的周期为T=

πm

qB0

   由几何关系知圆弧半径为r=

L

2

   又由qv_mB₀=m

v 2 m

r

        得v_m=

qB0L

2m

（3）要使粒子从oa边射出，其临界状态轨迹如图所示
   则有sinα=

1

2

，α=30°
   在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转150°角，
   运动时间t=

5

12

T0=

5πm

6qB0

     而又t=

T

2

   故磁场变化的最小周期为T=

5πm

3qB0

答：（1）若带电粒子从a点射出磁场，带电粒子在磁场中运动的时间为

πm

qB

，初速度大小为

qBL

2m

．
    （2）磁感应强度变化的周期T为

πm

qB0

，粒子射入磁场时的最大速度v_m为

qB0L

2m

．
    （3）磁感应强度B变化周期T的最小值为

5πm

3qB0

．

点评：本题解题的关键在于画出粒子运动轨迹，分析粒子圆周运动周期与磁场变化周期的关系．粒子圆周运动的时间往往根据轨迹的圆心角与周期的关系确定，t=

θ

2π

T，θ为圆心角．