Question

13．某行星的质量为M，半径为R；在其表面有一长为L的轻绳，一端栓一小球，另一端连接在可以自由转动的水平固定轴上，让小球在竖直平面内做圆周运动，已知引力常量为G；求：
（1）在该行星表面发射卫星的最小发射速度v₁？
（2）小球恰好能通过最高点的速度v₂？

Answer 1

分析 （1）最小的发射速度等于环绕行星做圆周运动的最大环绕速度，根据万有引力提供向心力，求出最小的发射速度．
（2）根据万有引力等于重力求出行星表面的重力加速度，根据重力提供向心力求出小球恰好能通过最高点的速度．

解答 解：（1）最小的发射速度等于最大的环绕速度，根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得最小的发射速度为：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$．
（2）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得行星表面的重力加速度为：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
根据$m′g=m′\frac{{{v}_{2}}^{2}}{L}$得小球恰好通过最高点的速度为：${v}_{2}=\sqrt{gL}=\sqrt{\frac{GML}{{R}^{2}}}$．
答：（1）在该行星表面发射卫星的最小发射速度为$\sqrt{\frac{GM}{R}}$．
（2）小球恰好能通过最高点的速度为$\sqrt{\frac{GML}{{R}^{2}}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．