Question

2．一半径为R的未知星球自转角速度为ω₀，在这个行星表面上用弹簧秤测某物体的重量，该星赤道上称得物重是两极时测得读数的75%，已知万有引力恒量为G，若该行星能看做球体，求：
（1）该星球的质量；
（2）该行星极点正上方有一点P点，在P点用弹簧秤称得物重是两极表面时测得读数的75%，求P点到星球表面的高度？

Answer 1

分析 （1）在两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，结合物重的大小关系，联立求出星球的质量．
（2）根据万有引力等于重力，结合物重的大小关系，求出P点离星球表面的高度．

解答 解：（1）在两极，万有引力等于重力，$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-mg′=mR{ω}^{2}$，
又mg′=75%mg，
联立解得星球的质量M=$\frac{4{R}^{3}{ω}^{2}}{G}$．
（2）根据mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，$mg′=G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$得，
又mg′=75%mg，
解得h=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}R$．
答：（1）星球的质量为$\frac{4{R}^{3}{ω}^{2}}{G}$．
（2）P点到星球表面的高度为$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}R$．

点评 解决本题的关键知道赤道和两极万有引力和重力的大小关系，掌握万有引力等于重力这一重要理论，并能灵活运用．