Question

（14分）如图所示，倾角θ = 60°的粗糙平直导轨与半径为R的光滑圆环轨道相切，切点为B，轻弹簧一端固定，自由端在B点，整个轨道处在竖直平面内。现将一质量为m的小滑块（视为质点）紧靠且压缩弹簧，并从导轨上离水平地面高h = R的A处无初速下滑进入圆环轨道，恰能到达圆环最高点D，不计空气阻力。滑块与平直导轨之间的动摩擦因数μ = 0.5，重力加速度大小为g。求：

（1）滑块运动到圆环最高点D时速度υ_D的大小；
（2）滑块运动到圆环最低点时受到圆环轨道支持力N的大小；
（3）滑块在A处时弹簧的弹性势能E_p。

Answer 1

（1）（2）N = 6mg  （2）mgR 

（1）滑块恰能到达圆环最高点D，说明滑块在D点时重力恰好提供向心力，即
mg = m                        2分
得     υ_D =                       1分
（2）小滑块从C→D，由机械能守恒定律得
mυ_C² = mυ_D² + mg·2R         2分
υ_C =                      1分
在C点，根据牛顿第二定律，有
N– mg = m                 2分
得     N = 6mg                       1分
（2）AB之间长度
L = [h–（R– Rcosθ）]/sinθ= R    1分
平直导轨对滑块的滑动摩擦力
f = μmgcosθ = mg              1分       
从A→C，根据能量守恒定律有
mυ_C² + fL = E_p + mgh             2分
得     E_p = mgR                      1分
本题考查圆周运动规律的应用，在最高点通过的临界条件是只有重力提供向心力，从C到D可通过机械能守恒定律求得C点速度，在C点由支持力和重力的合力提供向心力，列式求解可得，在A到B间，通过动能定理可求得势能大小