Question

2．一卡车以v=15m/s的速度在平直公路上匀速行驶，在卡车后面x=100m处一小汽车由静止开始追赶卡车．小汽车先做匀加速运动，加速度大小为3m/s²，加速到最大速度v_m=24m/s后做匀速运动．试求：
（1）小汽车追上卡车前二者相距的最大距离．
（2）小汽车追上卡车所用的时间．

Answer 1

分析 （1）追上前小汽车前两车速度相等时两车相距最大，据速度时间关系求得速度，再根据位移时间关系求得相距最大距离；
（2）根据位移关系求得小汽车追上卡车所用时间即可．

解答 解：（1）追上前两车速度相等时，两车相距最远，据速度时间有关系有：
t=$\frac{v}{a}$=$\frac{15}{3}s=5s$
此过程中卡车位移为：x_卡=vt=15×5m=75m
小汽车位移为：${x}_{小}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×3×{5}^{2}m=37.5m$
此时两车间最大距离为：△x=x+x_卡-x_小=100+75-37.5m=137.5m
（2）小汽车加速过程中的平均速度为：$\overline{v}=\frac{{v}_{m}+0}{2}=12m/s＜15m/s$
所以小汽车在匀速阶段追上卡车
令小汽车追上卡车所用时间为t，则小汽车加速的时间为：$t′=\frac{{v}_{m}}{a}=\frac{24}{3}s=8s$
此过程中卡车的位移为：x_卡=vt
小汽车加速的位移为：：${x}_{小}′=\frac{1}{2}at{′}^{2}=\frac{1}{2}×3×{8}^{2}m=96m$，
匀速运动的位移为：x_小″=v_m（t-t′）
由追上时的位移关系：x+x_卡=x_小′+x_小″
即：100+15t=96+24×（t-8）
解得：t=21.78s
答：（1）小汽车追上卡车前二者相距的最大距离为137.5m；
（2）小汽车追上卡车所用的时间为21.78s．

点评 掌握追及相遇问题相距最大的临界条件是正确解题的关键，能根据位移关系求得相遇时间，注意判定小汽车在加速度还是匀速阶段追上卡车．