Question

如图所示，倾角α=30°的等腰三角形斜面体固定在水平面上，一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧，绸带与斜面间无摩擦．现将质量分别为M=4.0kg、m=2.0kg的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上．两物块与绸带间的动摩擦因数μ相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取重力加速度g=10m/s²．
（1）若μ=

3

2

，试求两物块的加速度大小和方向；
（2）若μ=

3

6

，试求两物块的加速度大小和方向；
（3）若μ=

7 3

18

，试求两物块的加速度大小和方向．

Answer 1

斜面倾角α=30°，物块重力沿斜面向下的分力为：G₁=mgsinα，
由题意知，物块相对于绸带的最大静摩擦力为：f=μmgcosα，
当mgsinα＞μmgcosα，即：μ＜tanα=tan30°=

3

3

时，
物块相对于绸带滑动，当μ≥

3

3

时，物块相对于绸带静止；
（1）μ=

3

2

＞

3

3

，两物块相对于绸带静止，以两物块与绸带组成的系统为研究对象，由牛顿第二定律得：
（M-m）gsin30°=（M+m）a，
解得：a=

(M-m)gsin30°

M+m

=

(4-2)×10×0.5

4+2

=

5

3

m/s²，
M的加速度方向沿斜面向下，m的加速度方向沿斜面向上；
（2）μ=

3

6

＜

3

3

，物块相对于绸带滑动，由于f_M＞f_m，M相对绸带静止，M与绸带一起运动，m相对于绸带滑动，对m，由牛顿第二定律得：
mgsin30°-μmgcos30°=ma_小，
a_小=g（sin30°-μcos30°）=10×（0.5-

3

6

×

3

2

）=2.5m/s²，方向沿斜面向下，
M与绸带一起沿斜面向下滑动，对M（包括绸带）由牛顿第二定律得：
Mgsin30°-μmgcos30°=Ma_大，
a_大=g（sin30°-μ?

m

M

?cos30°）=10×（0.5-

3

6

×

2

4

×

3

2

）=3.75m/s²，方向沿斜面向下；
（3）μ=

7 3

18

＞

3

3

，物块相对于绸带静止，
M相对于绸带静止，M与绸带一起向下加速运动，
m受到的摩擦力为：μmgcos30°=

7 3

18

×2×10×

3

2

=

35

3

N，
m重力沿斜面方向的分力为：mgsin30°=2×10×0.5=10N，
摩擦力大于重力的分力，则m相对于绸带滑动，
对m，由牛顿第二定律得：μmgcos30°-mgsin30°=ma，
即：

35

3

-10=2a，解得：a=

5

6

m/s²，方向沿斜面向上，
对M，由牛顿第二定律得：Mgsin30°-μmgcos30°=Ma′，
解得：a′=g（sin30°-μ?

m

M

?cos30°）=10×（0.5-

7 3

18

×

2

4

×

3

2

）=

25

12

m/s²，方向沿斜面向下；
答：（1）两物块的加速度大小都是

5

3

m/s²，M的加速度方向沿斜面向下，m的加速度方向沿斜面向上；
（2）m的加速度大小为2.5m/s²，方向沿斜面向下，M的加速度大小为3.75m/s²，方向沿斜面向下；
（3）m的加速度大小为

5

6

m/s²，方向沿斜面向上，M的加速度大小为

25

12

m/s²，方向沿斜面向下．