Question

4．如图所示，竖直放置的半圆形轨道与水平轨道平滑连接，不计一切摩擦．圆心O点正下方放置为2m的小球A，质量为m的小球B以初速度v₀向左运动，与小球A发生弹性碰撞．碰后小球A在半圆形轨道运动时不脱离轨道，则小球B的初速度v₀可能为（　　）

• A． 2$\sqrt{2gR}$
• B． $\sqrt{2gR}$
• C． 2$\sqrt{5gR}$
• D． $\sqrt{5gR}$

Answer 1

分析 小球A的运动可能有两种情况：1．恰好能通过最高点，说明小球到达最高点时小球的重力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球到达最高点点的速度，由机械能守恒定律可以求出碰撞后小球A的速度．由碰撞过程中动量守恒及能量守恒定律可以求出小球B的初速度；
2．小球不能到达最高点，则小球不脱离轨道时，恰好到达与O等高处，由机械能守恒定律可以求出碰撞后小球A的速度．由碰撞过程中动量守恒及能量守恒定律可以求出小球B的初速度．

解答 解：A与B碰撞的过程为弹性碰撞，则碰撞的过程中动量守恒，设B的初速度方向为正方向，设碰撞后B与A的速度分别为v₁和v₂，则：
mv₀=mv₁+2mv₂
由动能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$
联立得：${v}_{2}=\frac{2}{3}{v}_{0}$   ①
1．恰好能通过最高点，说明小球到达最高点时小球的重力提供向心力，是在最高点的速度为v_min，由牛顿第二定律得：
$2mg=\frac{2m{v}_{min}^{2}}{R}$  ②
A在碰撞后到达最高点的过程中机械能守恒，得：
$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}•2m{v}_{min}^{2}+2mg•2R$  ③
联立①②③得：${v}_{0}=1.5\sqrt{5gR}$，可知若小球B经过最高点，则需要：${v}_{0}≥1.5\sqrt{5gR}$
2．小球不能到达最高点，则小球不脱离轨道时，恰好到达与O等高处，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}=2mgR$④
联立①④得：${v}_{0}=1.5\sqrt{2gR}$
可知若小球不脱离轨道时，需满足：${v}_{0}≤1.5\sqrt{2gR}$
由以上的分析可知，若小球不脱离轨道时，需满足：${v}_{0}≤1.5\sqrt{2gR}$或${v}_{0}≥1.5\sqrt{5gR}$，故AD错误，BC正确．
故选：BC

点评 熟练应用牛顿第二定律、机械能守恒定律、动量守恒定律即可正确解题，注意小球A的运动过程中不脱离轨道可能有两种情况，难度适中．