Question

如图所示，在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，有两条相互平行且相距L的光滑金属导轨P₁P₂P₃-Q₁Q₂Q₃，两导轨间用阻值为R的电阻连接，导轨P₂P₃、Q₂Q₃在同一水平面上，P₂Q₂⊥P₂P₃，倾斜导轨和水平导轨均用相切的一小段光滑圆弧连接，其长度可以略去不计．在倾角为 θ的斜导轨P₁P₂-Q₁Q₂上放置一根质量为m的细金属杆AB，杆AB始终垂直于导轨并与导轨保持良好接触．现用沿P₁P₂方向的拉力F施加于杆AB，使杆AB在高h处由静止开始向下做匀加速直线运动，当杆AB运动到P₂Q₂处时撤去拉力，最终在CD处停下，测得CD与P₂Q₂之间的距离为s．不计导轨和杆AB的电阻，不计空气阻力．求：
（1）杆AB下滑的过程中通过电阻R的电荷量q；
（2）杆AB运动到P₂Q₂处时的速度大小υ
（3）回路中的最大感应电流I_m和杆AB在斜导轨上的加速度大小a．

Answer 1

分析：（1）杆AB下滑的过程中，可以根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=

.

I

?△t求解电量．回路磁通量的变化为：△Ф=B?Lhcotθ．
（2）对AB杆，运用动量定理求解速度v的大小．
（3）当杆AB运动到水平轨道的P₂Q₂处时，垂直切割磁感线，产生的感应电动势最大，回路中的感应电流最大．根据法拉第定律和欧姆定律求解最大感应电流I_m．因杆AB在斜导轨上做匀加速直线运动，可由运动学公式求解加速度a大小．

解答：解：（1）设杆AB下滑过程中所用的时间为△t．则下滑过程中的平均感应电动势为：
 

.

E

=

△Ф

△t

…①
平均电流：

.

I

=

. E

R

…②
又 q=

.

I

?△t…③
由①②③解得：q=

△Ф

R

…④
而△Ф=B?Lhcotθ…⑤
由④⑤可得：q=

BLhcotθ

R

…⑥
（2）设杆AB在P₂Q₂处的速度大小为v．在水平导轨上运动的过程中，由动量定理得：
-B

.

I′

L?△t′=-mv…⑦
又 q′=

.

I′

?△t′…⑧
与④式同理可得：q′=

△Ф′

R

=

BLs

R

…⑨
由⑦⑧⑨解得：v=

B2L2s

mR

  
（3）杆AB运动到水平轨道的P₂Q₂处时，回路中的感应电流最大．
 感应电动势最大值为：E_m=BLv．
则 I_m=

Em

R

=

B3L3s

mR2

杆AB在斜导轨上做匀加速直线运动，则有：v²=2a?

h

sinθ

．
所以有：a=

v2sinθ

2h

=

B4L4s2sinθ

2m2R2h

．
答：（1）杆AB下滑的过程中通过电阻R的电荷量q为

BLhcotθ

R

；
（2）杆AB运动到P₂Q₂处时的速度大小v为

B2L2s

mR

． 
（3）回路中的最大感应电流I_m为

B3L3s

mR2

．杆AB在斜导轨上的加速度大小a为

B4L4s2sinθ

2m2R2h

．

点评：解决本题时，推导电量的经验公式q=

△Ф

R

和运用动量定理求速度是解题的关键，并能抓住感应电荷量与动量定理之间的内在联系．