Question

如图（甲）所示，两上下正对水平放置的平行金属板C、D相距很近，上面分别开有小孔O和O′，水平放置的平行金属导轨P、Q与金属板C、D接触良好，且导轨垂直放在磁感强度为B₁=10T的竖直向上的匀强磁场中，导轨间距L=0.50m，金属棒AB紧贴着导轨沿平行导轨方向在磁场中做往复运动，其速度图象如图（乙），若规定向右运动速度方向为正方向．从t=0时刻开始，由C板小孔O处连续不断地以垂直于C板方向飘入质量为m=3.2×10^-21kg、电量q=1.6×10^-19C的带正电的粒子（设飘入速度很小，可视为零）．在D板外侧有以MN为边界的匀强磁场B₂=10T，方向垂直纸面向里．MN与D相距d=10cm，（粒子重力及其相互作用不计），求
（1）在0到4.0秒内D板电势什么时刻最高？且两板电势差的最大值为多少？
（2）0到4.0秒内哪些时刻从O处飘入的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN？
（3）粒子从边界MN射出来的位置之间最大的距离为多少？

Answer 1

分析：（1）当金属棒沿平行导轨方向在磁场中做往复运动时，产生的感应电动势方向会改变，根据右手定则判断出感应电动势的方向，即可知道D板和C板电势的高低．由E=BLv知，速度最大时，板间的电势差最大．
（2）粒子要飞出磁场边界MN，速度最小时，轨迹半径也最小，恰好与MN相切，可得到轨迹半径为d．根据粒子圆周运动的半径r=

mv

qB

求出粒子进入磁场的速度，即为加速获得的末速度，再由动能定理求出加速电压U，由U=ε=B₁Lv 求出AB运动的速度，由乙图可求出所求的量．
（3）当AB棒速度最大，产生的感应电动势最大，CD板间电压最大，粒子经加速得到的速度最大，在磁场中轨迹半径也最大，粒子出MN边时，偏转距离最小，根据法拉第电磁感应定律、动能定理和半径公式结合，并运用几何知识求得粒子从边界MN射出来的位置之间最大的距离．

解答：解：（1）根据右手定则判断得知，当金属棒向左运动时，即速度为负值时，D板的电势高于C板的电势．两板电势差等于金属棒所产生的感应电动势，由E=BLv知，速度最大时，板间的电势差最大，所以可知，在3.0秒时刻D板电势最高，为：
U=E=B₁Lv=10×0.5×20V=100V
（2）只有当CD板间的电场力方向向上，即AB棒向又运动时，粒子才可能从O运动O′，而粒子飞出磁场边界MN轨迹半径最大为r=d，则粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN的最小速度v₀必须满足：r=d=

mv0

qB2

…①
设CD间的电压为U，则有：qU=

1

2

m

v

2 0

…②
解①②得：U=25N
又因有：U=?=B₁Lv
解得：v₀=5m/s．
所以根据（乙）图可以推断在0.25s＜t＜1.75s内，粒子能穿过CD间的电场，并飞出磁场边界．
（3）当AB棒速度最大，即v′=20m/s时产生感应电动势为：
ε′=B₁Lv′=100V
此时带电粒子经加速后速度为v，由动能定理有：
q?′=

1

2

mv²
解得：v=

2q?′ m

=

2×1.6×10-19×100 3.2×10-21

=100m/s
此时带电粒子的轨迹半径为：
R′=

mv

qB2

=

3.2×10-21×100

1.6×10-19×10

m=0.2m
出射点与O’的水平距离为：
x=R′-

R′2-d2

=（0.2-

0．22-0．12

）m=0.027m=2.7cm
粒子从边界MN射出来的位置间最大距离为S=d-x=10cm-2.7cm=7.3cm
答：（1）0到4.0s内0.25s＜t＜1.75s时刻从O处飘入的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN．
（2）粒子从边界MN射出来的位置之间最大的距离为7.3cm

点评：本题是电磁感应与带电粒子在磁场中运动的综合，要注意挖掘临界条件，掌握电磁学基本知识和基本的分析思路，属于中档题．