Question

如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场．取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，一质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v₀.由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区．当B₀和T_B取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)．上述m、q、d、v₀为已知量．

　

图甲　　　　　　　　　　图乙

(1)若Δt＝T_B，求B₀；

(2)若Δt＝T_B，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；

(3)若B₀＝，为使粒子仍能垂直打在P板上，求T_B.

Answer 1

解：(1)设粒子做圆周运动的半径为R₁，由牛顿第二定律得qv₀B₀＝①

据题意由几何关系得R₁＝d②

联立①②式得B₀＝③

(2)设粒子做圆周运动的半径为R₂，加速度大小为a，由圆周运动公式得a＝④

据题意由几何关系得3R₂＝d⑤

联立④⑤式得a＝⑥

(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得T＝⑦

由牛顿第二定律得qv₀B₀＝⑧

由题意知B₀＝，代入⑧式得d＝4R⑨

粒子运动轨迹如图所示，O₁、O₂为圆心，O₁O₂连接与水平方向的夹角为θ，在每个T_B内，

只有A、B两个位置才有可能垂直击中P板，且均要求0＜θ<，由题意可知T＝⑩

设经历完整T_B的个数为n(n＝0，1，2，3……)

若在A点击中P板，据题意由几何关系得

R＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑪

当n＝0时，无解⑫

当n＝1时，联立⑨⑪式得θ＝(或sin θ＝)⑬

联立⑦⑨⑩⑬式得T_B＝⑭

当n≥2时，不满足0＜θ＜90°的要求⑮

若在B点击中P板，据题意由几何关系得R＋2Rsin θ＋2(R＋Rsin θ)n＝d⑯

当n＝0时，无解⑰

当n＝1时，联立⑨⑯式得θ＝arcsin(或sin θ＝)⑱

联立⑦⑨⑩⑱式得T_B＝⑲

当n≥2时，不满足0＜θ＜90°的要求．⑳