Question

10．如图所示，在传送带的右端Q点固定有一竖直光滑圆弧轨道，轨道的入口与传送带在Q点相切．以传送带的左端点为坐标原点O，水平传送带上表面为x轴建立坐标系，已知传送带长L=6m，匀速运动的速度v₀=4m/s．一质量m=1kg的小物块轻轻放在传送带上x_P=2m的P点，小物块随传送带运动到Q点后恰好能冲上光滑圆弧轨道的最高点N点．小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.4，重力加速度g=10m/s²．
（1）求N点的纵坐标y_N；
（2）若将小物块轻放在传送带上的某些位置，小物块均不脱离圆弧轨道，求传送带上这些位置的横坐标的范围．

Answer 1

分析 （1）小物块在传送带上先做匀加速运动，由牛顿第二定律求出加速度，根据运动学公式列式求解出Q点的速度；在N点，重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律列式；最后联立方程得到圆弧轨道的半径，即可得到N点的纵坐标．
（2）滑块在滑动摩擦力的作用下加速，加速距离不同，冲上圆弧轨道的初速度就不同，求出恰好到达圆心右侧M点、圆心右侧等高点、圆心左侧M点的临界加速距离，从而得到传送带上这些位置的横坐标的范围．

解答 解：（1）在传送带上先做匀加速运动，对小物块，由牛顿第二定律得：μmg=ma
解得：a=4m/s²
小物块与传送带共速时，所用的时间 t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{4}{4}$s=1s，
运动的位移：s=$\frac{{v}_{0}}{2}t$=$\frac{4×1}{2}$=2m＜L-x_P=4m
故小物块与传送带达到相同速度后以v₀=4m/s的速度匀速运动到Q，然后冲上光滑圆弧轨道恰好到达N点．
在N点，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$
从Q到N过程，由机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_N²，
解得：R=0.32m，则N点的纵坐标：y_N=2R=0.64m；
（2）由（1）可知，当物块从x₁=L-s=4m处释放时，物块到达Q点时恰好与皮带速度相等，
物块恰好通过圆轨道的最高点，则当x≤x₁=4m时，物块不会脱离圆轨道；
设在坐标为x₁处将小物块轻放在传送带上，若刚能到达与圆心等高位置，从释放点到圆心等高位置过程中，由动能定理得：
   μmg（L-x）-mgR=0-0，解得：x₂=5.2m，当x≥5.2m时，物块不会脱离轨道；
故小物块放在传送带上的位置坐标范围为：0≤x≤4m和5.2m≤x＜6m；
答：（1）N点的纵坐标为1m；
（2）小物块均能沿光滑圆弧轨道运动（小物块始终在圆弧轨道运动不脱轨）的位置的横坐标范围是：0≤x≤4m和5.2m≤x＜6m．

点评 本题关键是明确小滑块的运动情况，然后分段根据牛顿第二定律、动能定理、运动学公式列式分析求解．