Question

18．如图所示，在直角坐标系的xoy第一象限中存在竖直向下的匀强电场，场强大小为4E₀，虚线是电场的理想边界线，虚线右端与x轴相交于A（L，0）点，虚线与x轴所围成的空间内没有电场；在第二象限中存在水平向右的匀强电场，场强大小为E₀．在M（-L，L）和N（-L，0）两点的连线上有一个粒子发生器装置，可产生质量均为m，电量均为q的静止的带正电的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，且整个装置处于真空中．
（1）若粒子从M点由静止开始运动，进入第一象限后始终在电场中运动并恰好到达A点，求该过程中粒子运动时间t及到达A点的速度的大小；
（2）若从MN连线上的各点由静止开始运动的所有粒子，经第一象限的电场偏转穿过虚线后都能到达A点，求此边界线（图中虚线）的方程；
（3）若将第一象限的电场撤去，在第一、四象限中加上垂直平面xoy的圆形区域的匀强磁场，OA为圆形区域的直径，从MN连线上的各点由静止开始运动的一些粒子，经第一象限的磁场偏转后都能从圆形区域的最低点射出磁场，求此匀强磁场的方向和大小．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求得加速度，然后由运动学的公式即可求得运动的时间与到达A的速度；
（2）结合（1）的公式，按照题目的条件写出相应的方程，即可求解；
（3）根据带电粒子在电场中加速，可知，粒子的电性，再根据左手定则，结合粒子在磁场中偏转方向，即可判定磁场的方向，由几何关系，知道已知长度与运动的轨道半径的关系，从而求解磁场的大小．

解答 解：（1）粒子在第二象限从M点由静止开始运动有：
根据牛顿第二定律：E₀q=ma₁，
匀加速运动位移$L=\frac{1}{2}{a_1}t_1^2$
匀加速运动的末速度${v_1}={a_1}t_1^{\;}$
进入第一象限在电场中类平抛运动有：
根据牛顿第二定律，有4E₀q=ma₂
竖直方向$y=L=\frac{1}{2}{a_2}t_2^2$
水平方向$x=L={v_1}t_2^{\;}$
竖直分速度${v_y}={a_2}t_2^{\;}$
联立求解得：t=${t_1}+t_2^{\;}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2mL}{{q{E_0}}}}$
${v_A}=\sqrt{v_y^2+v_1^2}=\sqrt{\frac{{10q{E_0}L}}{m}}$
（2）设从MN连线上的P（-L，y₀）点由静止开始运动的某一粒子，经第一象限的电场偏转并通过虚线上的Q（y，x）点后沿直线到达A点，如图
电场E₀中加速：${E_0}qL=\frac{1}{2}mv_{{0^{\;}}}^2$
电场4E₀中偏转：${y_0}-y=\frac{1}{2}\frac{{4{E_0}q}}{m}t_{\;}^2$
$x=v_{{0^{\;}}}^{\;}t$
${v_y}=\frac{{4{E_0}q}}{m}t$
由图有：$tanθ=\frac{v_y}{v_0}=\frac{y}{L-x}$
联立求得：$y=-\frac{2}{L}x+2{x^2}$且有（0≤x≤L；0≤y≤$\frac{L}{2}$）；

（3）粒子在电场E₀中加速：${E_0}qL=\frac{1}{2}mv_{{0^{\;}}}^2$
设在磁场中匀速圆周的半径为r，有$r=\frac{{mv_{{0^{\;}}}^{\;}}}{qB}$，由题有$R=\frac{L}{2}$
因PO₂、O₁Q都在竖直方向，因此四边形PO₂QO₁为菱形．则r=R
解得 $B=2\sqrt{\frac{{2mE_{{0^{\;}}}^{\;}}}{qL}}$，由左手定则得方向垂直纸面向外

答：（1）该过程中粒子运动时间t为$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}^{\;}}}$及到达A点的速度的大小$\sqrt{\frac{10q{E}_{0}^{\;}L}{m}}$；
（2）此边界线（图中虚线）的方程：$y=-\frac{2}{L}x+2{x^2}$且有（0≤x≤L；0≤y≤$\frac{L}{2}$）；
（3）此匀强磁场的方向垂直纸面向外和大小$2\sqrt{\frac{2m{E}_{0}^{\;}}{qL}}$

点评 解答本题的关键是分析粒子的受力情况，再分析运动情况．对于类平抛运动要掌握分解的方法，运用几何知识确定几何关系是关键．