Question

（2008?如皋市模拟）人造地球卫星绕地球旋转时，既具有动能又具有引力势能（引力势能实际上是卫星与地球共有的，简略地说此势能是人造卫星所具有的）．设地球的质量为M，以卫星离地无限远处时的引力势能为零，则质量为m的人造卫星在距离地心为r处时的引力势能为Ep=-

GMm

r

（G为万有引力常量）．
（1）试证明：在大气层外任一轨道上绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所具有的机械能的绝对值恰好等于其动能．
（2）当物体在地球表面的速度等于或大于某一速度时，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星，这个速度叫做第二宇宙速度，用v₂表示．用R表示地球的半径，M表示地球的质量，G表示万有引力常量．试写出第二宇宙速度的表达式．
（3）设第一宇宙速度为v₁，证明：v2=

2

v1．

Answer 1

分析：（1）人造卫星机械能守恒，由万有引力提供向心力公式，求出关于速度的表达式，再根据动能的具体形式进行代换，求出动能，动能加上此时的引力势能即为机械能，将机械能的绝对值与动能进行比较即可．
（2）第二宇宙速度为卫星脱离地球束缚的最小速度，即卫星在地表处动能刚好等于此处势能时便可脱离地球．
（3）当卫星绕地球附近做匀速圆周运动时的速度，即为第一宇宙速度，由万有引力和向心力结合得到第一宇宙速度，即可得证．

解答：解：（1）设卫星在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的速度为v，地球的质量为M，卫星的质量为m．有万有引力提供卫星做圆周运动的向心力：G

Mm

r2

=

mv2

r

所以，人造卫星的动能：Ek=

1

2

mv2=

1

2

GMm

R

卫星在轨道上具有的引力势能为：Ep=-

GMm

r

所以卫星具有的引力势能为：E=Ek+Ep=

1

2

GMm

r

-

GMm

r

=-

1

2

GMm

r

所以：|E|=|-

1

2

GMm

r

|=

1

2

GMm

r

（2）设物体在地于表面的速度为v₂，当它脱离地球引力时r→∞，此时速度为零，由机械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 2

-

GMm

R

=0
解得：v2=

2GM R

（3）第一宇宙速度即为绕地球表面运行的速度，故有：G

Mm

R2

=m

v 2 1

R

得：v2=

2

GM R

=

2

v1
答：
（1）证明过程如上所述；
（2）第二宇宙速度的表达式是

2GM R

．
（3）证明过程如上所述．

点评：此题是机械能守恒在天体中的运动问题，要充分利用万有引力提供向心力的条件，并且选无限远处为势能零点时，地球表面处势能最大，当动能大于或等于地球表面势能时，卫星就能脱离地球的吸引．