Question

19．截面为矩形的透明材料ABCD，P、Q分别为AB、AD上的两点，已知A、P距离为a，A、Q距离为2a，现有一细束光线从P点以某一入射角θ（未知）射入该材料，经折射后到达Q点，且在Q点刚好能发生全反射．
（ⅰ）求材料的折射率n
（ ii）改变光线从AB面P点射入时的入射角，求光线从AD边射出的区域长度．

Answer 1

分析 （i）光线在Q点刚好能发生全反射，入射角等于临界角C，由折射定律得到光线在AB面上入射角和折射角的关系．根据临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$及几何关系结合求解．
（ii）分析知Q点即为射出区域的最下边的点，而当AB面射入时的入射角趋于90°时，设对应光线射到M点，即为射出区域的最上边的点．根据几何知识求解．

解答 解：（i）在AB面上折射时，设对应的入射角为θ，折射角为r₁，由折射定律得：
   n=$\frac{sinθ}{sin{r}_{1}}$
由几何关系有：sinr₁=$\frac{\overline{AP}}{\overline{PQ}}$=$\frac{\overline{AP}}{\sqrt{{\overline{AP}}^{2}+{\overline{AQ}}^{2}}}$=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
又在Q点刚好发生全反射，设临界角为C，有：
 r₁+C=90°
又sinC=$\frac{1}{n}$
联立得：n=$\frac{1}{sinC}$=$\frac{1}{cos{r}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{1-si{n}^{2}{r}_{1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1-（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
（ii）分析知Q点即为射出区域的最下边的点，而当AB面射入时的入射角趋于90°时，设对应光线射到M点，即为射出区域的最上边的点．设此时在AB边上对应的折射角为C．
则有：$\overline{AM}$=$\overline{AP}$cotC
故区域长度为：$\overline{MQ}$=$\overline{AQ}$-$\overline{AM}$
解得：$\overline{MQ}$=1.5a
答：（ⅰ）材料的折射率n是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（ ii）改变光线从AB面P点射入时的入射角，光线从AD边射出的区域长度是1.5a．

点评 本题是全反射、折射定律、临界角等知识的综合应用，首先要正确作出光路图，运用几何知识研究折射角的正弦．掌握临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，结合全反射条件分析这类问题．