Question

19．如图是利用传送带传装货物的示意图．其中，传送带长5.55m，倾角θ=37°，货物与传送带间的动摩擦因数μ=0.8，传送带的主动轮和从动轮半径相等，主动轮轴顶端与运货车底板间的竖直高度H=1.8m，与运输车车箱中心的水平距离x=1.2m．现在传送带底端以沿传送带向上的初速度v_o=8.2m/s传上一件货物（可视为质点），其质量为2kg，货物到达主动轮时随轮一起匀速转动．要使货物在轮的最高点水平抛出并落在车箱中心，取g=10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
（1）传送带匀速运动的速度v及主动轮的半径R；
（2）货物在传送带上的运动时间t（不计货物在主动轮和从动轮上的运动时间）；
（3）传送带每传送一件货物产生多少内能？

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的规律求出物体的平抛运动的初速度，因为平抛运动的初速度等于传送带匀速运动的速度．货物能在轮的最高点水平抛出，说明在最高点只受重力，由重力提供向心力，根据向心力公式求主动轮的半径R．
（2）根据牛顿第二定律煤块匀加速直线运动的加速度，通过速度时间公式求出煤块在传送带上由静止开始加速至与传送带速度相同所经过的时间．
（3）根据运动学的公式求出煤块相对于传送带的位移△x，然后由Q=f△x即可求出．

解答 解：（ l ）货物离开主动轮后做由平抛运动的公式，得：
x=vt
H=$\frac{1}{2}$gt²；
代入数据解得：v=x•$\sqrt{\frac{g}{2H}}$=1.2×$\sqrt{\frac{10}{2×1.8}}$=2m/s．
要使货物在主动轮的最高点做平抛运动，则货物到达主动轮的最高点时对轮的压力为零，由牛顿第二定律，得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
则得：R=$\frac{{v}^{2}}{g}$=$\frac{{2}^{2}}{10}$m=0.4m
（2）货物在传送带上匀减速运动时，由牛顿第二定律F=ma得货物的加速度大小为：
a=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=gsinθ+μgcosθ=10×0.6+0.8×10×0.8=12.4m/s²
由v=v₀+at得减速到与传送带共同的时间为：
t₁=$\frac{{v}_{0}-v}{a}$=$\frac{8.2-2}{12.4}$=0.5s
此过程货物的位移为：
x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$=$\frac{8.2+2}{2}×0.5$=2.55m
由于μmgcosθ＞mgsinθ，所以此后货物与传送带一起匀速运动，匀速运动的时间为：
t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{v}$=$\frac{5.55-2.55}{2}$=1.5s
故总时间为：t=t₁+t₂=2s
（3）在货物匀减速运动的过程中，传送带通过的距离为：s=vt=2×0.5=1m
货物与传送带间的相对位移大小为：△x=x₁-s=2.55-1=1.55m
货物在传送带上运动产生的内能为：Q=f△x=μmg△x=0.8×2×10×0.8×1.55J=19.84J．
答：（1）传送带匀速运动的速度为2m/s，主动轮的半径为0.4m．
（2）货物在传送带上的运动时间t为2s．
（3）传送带每传送一件货物产生的内能是19.84J．

点评 本题要理清货物的运动情况，运用牛顿第二定律和运动学公式分析货物的运动过程，要知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．要注意摩擦产生的内能与相对位移有关．