Question

13．进入21世纪，低碳环保、注重新能源的开发与利用的理念，已经日益融入生产、生活之中，如图所示，某节水喷灌系统的喷水图如图甲所示，喷口距地面的高度差是h，能沿水平方向旋转，喷口离转动中心的距离为a，喷出水的落点离地面上水管中心的距离为R．水泵出水口单位时间流出水的质量为m，所用的水是从井下抽取的，井中水面离地面的高度为H，并一直保持不变．水泵由效率为η₁的太阳能电池板供电，电池板与水平面之间的夹角为α，太阳光竖直向下照射（如图乙所示），太阳光垂直照射时单位时间、单位面积接受的能量为E₀．水泵的效率为η₂，不计水在细水管和空气中运动时所受的阻力．求：
（1）水从小孔喷出时的速度大小．
（2）水泵的输出功率．
（3）为了使水泵的工作能维持水面的高度不变，太阳能电池板面积的最小值S．

Answer 1

分析 （1）由题意可知水做平抛运动的水平位移及竖直高度，则由平抛运动规律可得出水从小孔中喷出的速度；
（2）由功能关系可求得水泵做的功，由功率公式可求得功率；
（3）由太阳能及水泵在转化中的效率可求得实际需要的太阳能量，则可求得太阳能的电池板面积的最小值．

解答 解：（1）根据平抛运动规律可知，
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
R-a=v₀t
解得：v₀=（R-a）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）水泵做功转化为水的重力势能和动能，根据功能关系可知：
ts内做功：
W=$\frac{1}{2}$mtv₀²+mtg（H+h）=$\frac{mt（R-a）^{2}g}{4h}$+mgt（H+h）
则水泵的输出功率P=$\frac{W}{t}$=mg（H+h）+$\frac{mg（R-a）^{2}}{4h}$；
（3）考虑单位时间内的能量转化及利用效率，太阳能电池板接收太阳能的其中一部分转变成电能E₁，电能通过水泵将其中的部分转变成水的势能与动能E₂，有
E₁=η₁E₀cosθ                                                      
E₂=η₂E₁                                                             
E₂=mg（H+h）+$\frac{mg（R-a）^{2}}{4h}$；
解得
最小面积S=$\frac{mg（h+H）+\frac{mg（R-a）^{2}}{4h}}{{η}_{1}{η}_{2}{E}_{0}cosα}$
答：（1）水从小孔喷出时的速度大小为（R-a）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）水泵的输出功率为mg（H+h）+$\frac{mg（R-a）^{2}}{4h}$；
（3）为了使水泵的工作能维持水面的高度不变，太阳能电池板面积的最小值为$\frac{mg（h+H）+\frac{mg（R-a）^{2}}{4h}}{{η}_{1}{η}_{2}{E}_{0}cosα}$

点评 本题根据生活中的例子考查功能的关系，解题的关键在于明确题意，从而构建出我们所熟知的物理模型，找出对应的功能关系的转化规律即可正确解答．