Question

7．初速为零的匀变速直线运动的常用推论（设t=0开始计时，V₀=0）
（1）等分运动时间（以T为单位时间）
第一、lT末、2T末、3T末…瞬时速度之比为（V_l：V₂：V₃…=1：2：3…）
第二、1T内、2T内、3T内…位移之比（S_l：S₂：S₃…=1：4：9…）
第三、第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比为（S_Ⅰ：S_Ⅱ：S_Ⅲ…=l：3：5…）
（2）等分位移（以S为单位位移）
第四、通过lS、2S、3S…所用时间之比为：（t_l：t₂：t₃…=$1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$…）
第五、通过第一个S、第二个S、第三个S…所用时间之比为（t_l：t₂：t₃…=$1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$…）
第六、通过lS、2S、3S…位置的瞬时速度之比为：（V₁：V₂：V₃…=$1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$…）

Answer 1

分析 初速度为零的匀加速直线运动，根据v=at求解第1Ts末、2Ts末、3Ts末…速度之比，
根据$x=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$求解前1Ts内、2Ts内、3Ts内…位移的比，从而求出第一个Ts内，第二个Ts内，第三个Ts内…位移的比；根据t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$求解通过连续相同的位移所用时间之比．根据$v=\sqrt{2as}$求解第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比；

解答 解：初速为零的匀变速直线运动的常用推论
设t=0开始计时，V₀=0，则：
（1）等分运动时间（以T为时间单位），
第一、lT末、2T末、3T末…瞬时速度之比为V_l：V₂：V₃…=1：2：3…
证明：根据V=at，${V}_{1}^{\;}：{V}_{2}^{\;}：{V}_{3}^{\;}=aT：（a2T）：（a3T）=1：2：3$
第二、1T内、2T内、3T内…位移之比S_l：S₂：S₃…=1：4：9…
证明：根据$s=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$，${s}_{1}^{\;}：{s}_{2}^{\;}：{s}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}：（\frac{1}{2}a（2T）_{\;}^{2}）$$：（\frac{1}{2}a（3T）_{\;}^{2}）=1：4：9$
第三、第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比为
S_Ⅰ：S_Ⅱ：S_Ⅲ…=l：3：5…
证明：第二个T秒内的位移等于前两个T秒内的位移减去第一个T秒内的位移，第三个T秒内的位移等于前三个T秒内的位移减去前两个T秒内的位移，…则得
第一个T秒内、第二个T秒内、第三个T秒内…第nT秒内的位移之比为1：（2²-1）：（3²-2²）：…=1：3：5
（2）等分位移（以S位移为单位）
第一、通过lS、2S、3S…所用时间之比为：t_l：t₂：t₃…=l：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$…
证明：根据$s=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$，得$t=\sqrt{\frac{2s}{a}}$
故${t}_{1}^{\;}：{t}_{2}^{\;}：{t}_{3}^{\;}=\sqrt{\frac{2s}{a}}：\sqrt{\frac{2×2s}{a}}：\sqrt{\frac{2×3s}{a}}$=$1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$
第二、通过第一个S、第二个S、第三个S…所用时间之比为
t_l：t₂：t₃…=l：（$\sqrt{2}$-1）：（$\sqrt{3}$一$\sqrt{2}$）…
证明：根据位移公式$s=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
$2s=\frac{1}{2}a（{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}$
$3s=\frac{1}{2}a（{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}）_{\;}^{2}$
由数学知识解得：t_l：t₂：t₃…=l：（$\sqrt{2}$-1）：（$\sqrt{3}$一$\sqrt{2}$）…
第三、lS末、2S末、3S末…的瞬时速度之比为：
V₁：V₂：V₃…=l：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$…
证明：根据${v}_{\;}^{2}=2as$得$v=\sqrt{2as}$
故${V}_{1}^{\;}：{V}_{2}^{\;}：{V}_{3}^{\;}=\sqrt{2as}：\sqrt{2a•2s}：\sqrt{2a•3s}$=$1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$
故答案为：（1）1：2：3                 1：4：9                     1：3：5
（2）1$：\sqrt{2}：\sqrt{3}$                $1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$                  $1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$

点评 本题考查匀变速直线运动的规律应用，解题的关键是记住匀变速直线运动的规律及推论成立的条件，不能记混，难度适中．