Question

12．如图，光滑水平面上有质量分别为m和M、电荷量分别为q和Q的两个带异号电荷的小球A和B（均可视为点电荷），初始时刻，两球相距L₀，B静止，A有向右的初速度v₀，并在变力f的作用下保持匀速直线运动，某一时刻，两球之间可以达到一最大距离．（已知两点电荷相距r时系统的电势能为-k$\frac{qQ}{r}$，从开始到两球间距离达到最大的过程中变力f做的功为Mv₀²）求：
（1）最大距离L_M．
（2）从开始到两球间距离达到最大的过程中球A对球B所做的功．

Answer 1

分析 （1）本题可以以随A球一起运动的参考系S′为参考系，在参考系S′，A球静止，外力对A球不做功，两球组成的系统能量守恒．当两球间的距离为L₀时，B球以初速度v₀向左运动，随着B球远离A球，其动能在库仑力作用下逐渐变小，两球的电势能增大，当B球的动能减小到零时，A、B间距达到最大值，根据能量守恒求解最大距离．
（2）为了计算变力f做的功，应回到初始时B球相对它静止的参考系S来考查这个问题．由功能关系求解即可．

解答 解：（1）由于A球始终以恒定的速度v₀运动，故可以随A球一起运动的参考系S′为参考系．
在参考系S′，因A球静止，故外力f对A球不做功，A、B两球组成的系统的能量守恒．当两球间的距离为L₀时，B球以初速度v₀向左运动，随着B球远离A球，其动能在库仑力作用下逐渐变小，两球的电势能增大，当B球的动能减小到零时，A、B间距达到最大值L_M，根据能量守恒得
-k$\frac{Qq}{{L}_{M}}$=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$-k$\frac{Qq}{{L}_{0}}$
解得 L_M=$\frac{2kQq{L}_{0}}{2kQq-M{v}_{0}^{2}{L}_{0}}$
（2）为了计算变力f做的功，应回到初始时B球相对它静止的参考系S来考查这个问题．
相对于S系，当两球间的距离为L₀时，A球的速度为v₀，B球的速度为0，当两球的速度相等时，两球间距离达到最大值L_M，由功能关系得：
在这个过程中，变力f做的功  W=[$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{0}^{2}$-k$\frac{Qq}{{L}_{M}}$]-[$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-k$\frac{Qq}{{L}_{0}}$]
将L_M=$\frac{2kQq{L}_{0}}{2kQq-M{v}_{0}^{2}{L}_{0}}$代入得：W=Mv₀²．
答：
（1）最大距离L_M是$\frac{2kQq{L}_{0}}{2kQq-M{v}_{0}^{2}{L}_{0}}$．
（2）从开始到两球间距离达到最大的过程中球A对球B所做的功为Mv₀²．

点评 解决本题的关键有二：一要灵活选取参考系，二要正确分析两球间距离最大的条件：速度相等，再运用功能关系研究．