Question

如图8－55所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴O，在盘的右边缘固定


的小球B，放开盘让其自由转动．问：
(1)当A转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
(2)A球转到最低点时的线速度是多少？
(3)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

Answer 1

(1)两球重力势能之和减少了

(2)
(3)设半径OA向左偏离竖直线的最大角度为θ，

两小球重力势能之和的减少，可选取任意参考平面为零势能参考平面进行计算．由于圆盘转动过程中，只有两小球重力做功，根据机械能守恒定律可列式算出A球的线速度和半径OA的最大偏角．
(1)以通过转轴O的水平面为零势能面，开始时两球重力势能之和为

当A球转至最低点时两球重力势能之和为
Ep2＝EpA＋EpB＝－mgr＋0＝－mgr，
故两球重力势能之和减少了

(2)由于圆盘转动过程中，只有两球重力做功，机械能守恒，因此两球重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加，设A球转至最低点，A、B两球的线速度分别为vA，vB，则

因A、B两球固定在同一圆盘上，转动过程中的角速度ω相同．由


(3)设半径OA向左偏离竖直线的最大角度为θ，如图8－56，该位置系统的机械能与开始时的机械能分别为


由系统机械能守恒定律E1＝E3，即

两边平方得　　　　　 4(1－sin2θ)＝1＋sin2θ＋2sinθ，
所以　　　　　　　　　　　 5sin2θ＋2sinθ－3＝0，


[小结] 系统的始态、末态的重力势能，因参考平面的选取会有所不同，但是重力势能的变化却是绝对的，不会因参考平面的选取而异．机械能守恒的表达方式可以记为
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，
也可以写作：ΔEk增＝ΔEp减．本题采用的就是这种形式．