Question

15．如图所示，质量为m的物体放在与弹簧固定的木板上，弹簧在竖直方向做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的压力最大值是物重的1.5倍，求
（1）物体对弹簧的最小压力
（2）欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，其振幅最大值．

Answer 1

分析 （1）当压力最大时，木块处于最大位移处，此时加速度最大；木块在最高点时，对弹簧的压力最小．木块在最高点和最低点的加速度大小相等，方向相反，根据牛顿第二定律求出最低点的加速度，从而得知最高点的加速度，根据牛顿第二定律求出木块对弹簧的压力．
（2）根据胡克定律分别写出物体在平衡位置与最高点的受力的表达式，求出平衡位置时弹簧的压缩量，结合题目的条件即可求出．

解答 解：（1）由题意可知，最大压力为1.5mg；
此时加速度最大，则最大加速度为
1.5mg-mg=ma；
解得：a=0.5g；
因为木块在竖直方向上做简谐运动，依题意木块在最低点时对弹簧的压力最大，在最高点对弹簧的压力最小．
在最低点根据牛顿第二定律有F_N-mg=ma，代入数据解得a=0.5 g．
由最高点和最低点相对平衡位置对称，加速度大小等值反向，所以最高点的加速度大小为a′=0.5 g，在最高点根据牛顿第二定律有mg-F_N′=ma′，
故F_N′=mg-ma′=0.5 mg．
（2）当物体在平衡位置静止时，弹簧的弹力等于物体的重力，即：
mg=kx₀
当振幅为A时，在最高点物体对弹簧的压力等于0.5mg，由胡克定律得：
F_N′=kx₁
而：x₁=x₀-A
联立得：x₀=2A
欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，则在最高点物体对弹簧的压力恰好为0，则在最高点弹簧的长度等于弹簧的原长！所以此时物体的振幅等于x₀，即等于2A
答：（1）物体对弹簧的最小压力的大小为0.5mg．
（2）欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，其振幅最大值是2A．

点评 解决本题的关键知道简谐运动的对称性，最高点和最低点加速度大小相等，方向相反；不能想当然的认为最小压力为零．