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    5．如图，在真空中竖直平面内同时存在多层厚度为d，足够宽的正交复合场，匀强电场的电场强度大小为E，匀强磁场的磁感应强度大小为B，相邻复合场区域的间距也为d．将可看做质点、质量为m、带正电荷量为q的小球从静止开始下落，下落高度为d后进入复合场，已知mg=qE，重力加速度大小为g，不计粒子运动时的电磁辐射．
    （1）求小球在第1层复合场区域做圆周运动的轨道半径r1；
    （2）求小球到达第2个复合场区域时速度方向与竖直方向夹角的正弦值；
    （3）若空间存在有n层复合场，小球不能从复合场下边界穿出，求n的最小值．

    分析 （1）根据机械能守恒定律，结合洛伦兹力提供向心力，即可求解；
    （2）根据运动的合成与分解，结合动能定理，及几何关系，即可求解；
    （3）根据几何关系得rnsinθn-rnsinαn=d，同理rn-1sinθn-1-rn-2sinαn-2=d，再结合动能定理，及洛伦兹力提供向心力，即可求解．

    解答 解：（1）小球进入第1层复合场前，只有重力做功，由机械能守恒定律得：
    mgd=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$…①
    在复合场中小球受重力与电场力相等，洛仑兹力提供圆周运动向心力，有：

    Bqv1=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$…②
    联立解得：r1=$\frac{m}{Bq}\sqrt{2gd}$…③
    （2）设从第1层复合场穿出时速度与竖直方向夹角为θ1，水平速度为v1x；
    由几何关系得：sinθ1=$\frac{d}{{r}_{1}}$…④
    v1x=v1sinθ1…⑤
    设从第2层复合场进入时速度与竖直方向夹角为α2，
    根据动能定理有：mg•3d-qEd=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…⑥
    小球在重力场中运动时，垂直于重力方向的速度分量不变

    v2sinα2=v1sinθ1…⑦
    联立解得：sinα2=$\frac{Bq}{2mg}\sqrt{gd}$…⑧
    （3）设从第n层复合场进入时速度与竖直方向夹角为αn，从第n层复合场穿出时速度与竖直方向夹角为θn，
    由几何关系得：rnsinθn-rnsinαn=d…⑨
    小球在重力场中运动时，垂直于重力方向的速度分量不变，则有：

    vnsinαn=vn-1 sinθ n-1…⑩
    联立⑨⑩得rnsinθn-rn-1sinθn-1=d                     
    同理rn-1sinθn-1-rn-2sinαn-2=d                     
    联立解得 rnsinθn=nd                                  
    根据动能定理有：mg（2n-1）d-qE（n-1）d=$\frac{1}{2}m{v}_{n}^{2}$        
    在第n层复合场中小球受重力与电场力相等，洛仑兹力提供圆周运动向心力，有：
    Bqvn=m$\frac{{v}_{n}^{2}}{{r}_{n}}$                                        
    若小球不能从复合场下边界穿出，则：
    ${θ}_{n}=\frac{π}{2}$，sinθn=1
    联立解得：n=$\frac{2{m}^{2}g}{{B}^{2}{q}^{2}d}$
    答：（1）小球在第1层复合场区域做圆周运动的轨道半径$\frac{m}{Bq}\sqrt{2gd}$；
    （2）小球到达第2个复合场区域时速度方向与竖直方向夹角的正弦值$\frac{Bq}{2mg}\sqrt{gd}$；
    （3）若空间存在有n层复合场，小球不能从复合场下边界穿出，n的最小值$\frac{2{m}^{2}g}{{B}^{2}{q}^{2}d}$．

    点评 考查运动的合成与分解，掌握动能定理与机械能守恒定律的内容，理解几何关系rnsinθn-rnsinαn=d的运用，同时掌握牛顿第二定律的内容，及知道洛伦兹力提供向心力的公式，注意画出运动轨迹图．

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