Question

10．如图所示，空间中分别沿水平、竖直方向建立xOy坐标系．用某种方式将空间分隔成若干个等高区域，各区域高度d=0.2m，从上到下依次记为第1区域、第2区域…．各偶数区域内有竖直向上的匀强电场和水平向里的匀强磁场，场强E=5N/C，磁感强度B=1T；奇数区域内既无电场又无磁场．一个比荷$\frac{q}{m}$=2C/kg的带正电粒子从O点自由下落，不计空气阻力，g=10m/s²，sin11.54°=0.2．求：
（1）粒子刚进入第2区域的速度及通过第2区域所用的时间t；
（2）粒子穿过任意区域前后，水平速度的变化量△v_x；
（3）粒子最多能到达第几区域？

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动速度与位移规律，即可求解速度，再依据匀速圆周运动，可知，电场力与重力的关系，再结合洛伦兹力提供向心力，及几何关系，即可求解；
（2）根据水平方向不受力，则水平方向的速度不变，结合圆周运动的线速度公式，从而求解；
（3）根据动能定理，结合粒子在最低点时速度方向水平，进而即可求解．

解答 解：（1）如图所示，设带电粒子从O点自由下落，刚进入第2区域时速度为v，由自由落体运动有：
v²=2gd
解得：v=2m/s
粒子在第2区域，由于qE=mg，所以粒子在该区域内做匀速圆周运动．设轨道半径为r，在第一个区域运动时偏转的角度为θ，则有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$

sinθ=$\frac{d}{r}$
T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
t=$\frac{θ}{360°}T$
代入数据解得：t=0.1s
（2）①粒子在各奇数区域内运动时，水平方向不受力，

故在水平方向的速度不变，即△v_x=0
②粒子在任意偶数区域内做匀速圆周运动，设其半径为r，再设粒子进入区域时速度大小为v，与水平方向夹角为α，离开时与水平方向夹角为β，则
△v_y=vcosβ-vcosα
又因为v=$\frac{qBr}{m}$
得$△{v}_{x}=\frac{qB}{m}（rcosβ-rcosα）$=$\frac{qBd}{m}$=0.4m/s
（3）粒子若能进入奇数区域则必然能从中射出．设它恰好不能从第2n个区域内射出，它在该区域运动时的速度大小为v，对粒子的整个运动过程由动能定理，有：
mgd=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
粒子在最低点时速度方向水平，即有：v=v_x=n•△v_x=0.4n；
则代入上式解得：n=25
故粒子不能穿过第50个区域．
答：（1）粒子刚进入第2区域的速度2m/s及通过第2区域所用的时间0.1s；
（2）粒子穿过任意区域前后，水平速度的变化量0.4m/s；
（3）粒子最多能到达第25区域．

点评 考查自由落体运动的规律，掌握由运动性质来判定力之间的关系，并理解几何关系的应用，注意第二问，水平方向不受力，即水平方向速度不变，还有第三问，粒子在最低点时速度方向水平是解题的关键．