Question

11．如图所示，倾角为θ=45°的粗糙平直导轨与半径为R的光滑圆环轨道相切，切点为B，整个轨道处在竖直平面内．一质量为m的小滑块从轨道上离地面高为h=3R的D处无初速下滑进入圆环轨道，接着小滑块从圆环最高点C水平飞出，恰好击中导轨上与圆心O等高的P点，不计空气阻力．求：
（1）小滑块在C点飞出的速率；
（2）在圆环最低点时滑块对圆环轨道压力的大小；
（3）滑块与斜轨之间的动摩擦因数．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系得出平抛运动的水平位移，结合平抛运动的规律，求出平抛运动的初速度，即在最高点C的速度．
（2）对最低点到C点运用动能定理，求出最低点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出滑块对最低点的压力大小．
（3）对D到最低点运用动能定理，求出滑块与斜轨之间的动摩擦因数．

解答 解：（1）根据几何关系知，OP间的距离为：x=$\sqrt{2}$R
小滑块从C点飞出来做平抛运动，水平速度为v₀．根据R=$\frac{1}{2}$gt²得：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
则滑块在最高点C时的速度为：v_c=$\frac{\sqrt{2}R}{t}$=$\sqrt{gR}$．
（2）对最低点到C点的过程运用动能定理得：
-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv²；
解得：v=$\sqrt{5gR}$
对最低点由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F_N=6mg
由牛顿第三定律得：滑块运动到圆环最低点时对圆环轨道压力的大小为6mg．
（3）DB之间长度L=（2$\sqrt{2}$+1）R
从D到最低点过程中，由动能定理：
mgh-μmgcosθ•L=$\frac{1}{2}$mv²
解得：μ=$\frac{1}{4+\sqrt{2}}$≈0.18
答：（1）滑块运动到圆环最高点C时的速度的大小为$\sqrt{gR}$；
（2）滑块运动到圆环最低点时对圆环轨道压力的大小为6mg；
（3）滑块与斜轨之间的动摩擦因数为0.18．

点评 该题的突破口是小滑块从圆环最高点C水平飞出，恰好击中导轨上与圆心O等高的P点，运用平抛规律和几何关系求出初速度．下面就是一步一步运用动能定理和牛顿第二定律解决问题．