Question

6．如图所示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星．它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆．已知引力常量为G，天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为R₀，周期为T₀，求：
（1）中央恒星O的质量是多大？
（2）在A行星外侧还有一颗B行星，其轨道半径为2R₀则B行星的运行速度为多大？

Answer 1

分析 （1）A绕恒星做圆周运动，万有引力提供向心力，应用向心力公式与牛顿第二定律可以求出恒星的质量．
（2）万有引力提供行星做圆周运动的向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以求出行星的线速度．

解答 解：（1）设中央恒星O的质量为M，A行星的质量为m，行星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$=m$（\frac{2π}{{T}_{0}}）^{2}$R₀，
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{0}^{3}}{G{T}_{0}^{2}}$；
（2）万有引力提供行星做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{M{m}_{B}}{（2{R}_{0}）^{2}}$=m_B$\frac{{v}_{B}^{2}}{2{R}_{0}}$，
解得：v_B=$\frac{\sqrt{2}π{R}_{0}}{{T}_{0}}$；
答：（1）中央恒星O的质量是$\frac{4{π}^{2}{R}_{0}^{3}}{G{T}_{0}^{2}}$；
（2）在A行星外侧还有一颗B行星，其轨道半径为2R₀则B行星的运行速度为$\frac{\sqrt{2}π{R}_{0}}{{T}_{0}}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供行星做圆周运动的向心力是正确解题的关键，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．