Question

16．真空二极管中流有稳定电流时，电流强度和二极管两端的电压满足$\frac{3}{2}$律，即：I∝${V}_{0}^{\frac{3}{2}}$
由于数学上的困难我们还不能给出证明，我们讨论时认为电流很小，因而外加电场不受空间电荷的影响，并且假定电子离开阴极时速度为零，设想真空二极管有相隔很近的平行平面的阴极和阳极，两者之间距离为d，每一极板面积为S，稳定电流下，从阴极流向阳极的电流为I，并令阴极电势为零，阳极电势保持为V₀．试将电子速度v和空间电荷密度ρ表示为据阴极距离x的函数．

Answer 1

分析 已知阴极电势为零，阳极电势为V₀．由E=$\frac{U}{d}$求出两极间的场强．电子在两极间做匀加速运动，由牛顿第二定律求得加速度，由v²=2ax得到速度v，再由电流的定义式和题设条件求解即可．

解答 解：由题知，阳极和阴极间的电压为V₀，两极间的电场强度 E=$\frac{{V}_{0}}{d}$
电子在两极间做匀加速运动的加速度 a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{e{V}_{0}}{md}$
由匀加速运动的位移-速度公式，有v²=2ax，得 v=$\sqrt{\frac{2a{V}_{0}}{md}x}$
电流 I=$\frac{△q}{△t}$，△q=ρ•△V=ρ•S•v•△t，得 I=ρ•S•v
又I∝${V}_{0}^{\frac{3}{2}}$，得 I=k${V}_{0}^{\frac{3}{2}}$，k是比例系数
把v的表达式代入解得  ρ=$\frac{K{V}_{0}}{S}$$\sqrt{\frac{md}{2ex}}$
答：将电子速度v和空间电荷密度ρ表示为据阴极距离x的函数分别为 v=$\sqrt{\frac{2a{V}_{0}}{md}x}$和 ρ=$\frac{K{V}_{0}}{S}$$\sqrt{\frac{md}{2ex}}$．

点评 本题要理清电子的运动情况，建立物理模型，抓住宏观与微观联系的桥梁是电流的微观表达式．