Question

15．两平行足够长的光滑金属导轨水平放置，相距为L，导轨之间以虚线为界分别有竖直向下和向上的匀强磁场，左侧磁感应强度为B，右侧为2B，M、N两导体棒垂直放置，处于虚线两侧，如图所示．已知M、N的质量都为m，电阻都为R，导轨电阻不计．现给M棒一水平向右的初速度v，求回路中产生的内能？

Answer 1

分析 M棒向右运动，在回路中产生顺时针方向的感应电流，M棒受到向左的安培力而做减速运动，N棒受到向左的安培力而向左加速运动，最后两棒都做匀速运动，产生的感应电动势抵消．根据感应电动势大小相等，列出方程．再运用动量定理分别对两棒列式，即可求出两棒匀速运动时的速度，从而根据能量守恒定律求解内能．

解答 解：M棒向右运动，在M、N棒和导轨构成的回路中产生顺时针方向的感应电流，M棒受到向左的安培力，因而向右做减速运动．N棒受到向左的安培力而向左加速运动，最后两棒都做匀速运动．设匀速运动时，M、N的速度大小分别为
v₁和v₂，此时两棒产生的感应电动势抵消，即有
  2BLv₁=BLv₂，得 2v₁=v₂；
设安培力对M的冲量大小为I，则安培力对N的冲量大小为2I，由动量定理得：
对M棒：2I=mv-mv₁；
对N棒：I=mv₂；
由以上三式解得：v₁=$\frac{v}{5}$，v₂=$\frac{2}{5}$v
根据能量守恒定律知：减小的动能等于回路中产生的内能，则有：
回路中产生的内能 Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{2}{5}m{v}^{2}$
答：回路中产生的内能为$\frac{2}{5}m{v}^{2}$．

点评 在本题中安培力是变力，如果用牛顿第二定律求速度很困难，在变力作用的过程中，利用动量守恒就很简捷．同时要注意变力的冲量设为I，而不用Ft表示．