Question

【题目】如图所示，一条河宽为60m，水流速度恒为5m/s，现要将小船上的货物由此岸的A处沿直线送达正对岸下游45m处的B处。已知小船的速度最大可达5m/s，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2。

（1）如果小船以最小速度航行，求船速v1的大小和方向；

（2）如果要使小船在最短时间内抵达B处，求船速v2的取值和方向；

（3）求小船运动的最短时间t0。

Answer 1

【答案】（1）如果小船以最小速度航行，船速v1的大小为4m/s和方向与河岸夹角为37°指向上游；（2）如果要使小船在最短时间内抵达B处，船速v2的取值为5m/s和方向指向上游，与河岸成74°；（3）小船运动的最短时间是12.5s。

【解析】

（1）为使小船抵达B处，小船的实际航线须沿题目图中的AB方向，即合速度方向沿AB方向，设AB与河岸的夹角为θ，由三角形法则可得：

v1=v水sinθ

方向与河岸夹角为37°指向上游；

由几何关系得：AB=75m，有：sinθ=0.8

解得：

v1=4m/s

（2）为使小船能在最短时间内抵达B处，小船应该以最大速度航行，即v2=5m/s，并使合速度的方向仍沿AB方向；由于船速和水速大小相等，所以AB的方向是在两个速度的角平分线上，v2的方向与河岸成2θ角，由几何关系得2θ=106°，即船速指向上游，与河岸成74°。

（3）小船运动的合速度为：

v=2v2cosθ=2×5×0.6m/s=6m/s

所以小船运动的最短时间为：

t0==s=12.5s。