Question

16．小芳同学设计了一种除尘方案，用于清除带电粉尘，简化模型如图所示，P、Q是两竖直放置、相距d=1m的平行金属板，正中间各开有一长L=0.5m的狭缝AB、CD，金属板Q的右侧紧靠着一直径与狭缝等长的圆形边界匀强磁场，方向垂直纸面向外，大小B=0.08T．已知粉尘带正电，比荷均为$\frac{q}{m}$=1.0×10³C/kg，从狭缝AB飘入时的速度可假设为零；两板间加速电场的电压U=0.4V．不计粉尘所受的重力、阻力及粉尘之间的相互作用．求
（1）粉尘在金属板之间运动的加速度；
（2）为了使从狭缝AB飘入的所有粉尘都被放置于M点的装置所收集，金属板间需加的电压．

Answer 1

分析 （1）根据匀强电场的场强公式求出竖直放置的平行金属板间的电场，根据牛顿第二定律求得粉尘在金属板间运动的加速度；
（2）所有粉尘都被放置于M点的装置所收集，根据几何关系求出在磁场中匀速圆周运动的半径，洛伦兹力提供向心力，由半径公式求出速度，最后由动能定理求金属板间所需的电压；

解答 解：（1）粉尘在加速电场中，由牛顿第二定律有：
qE=ma…①
其中场强为：$E=\frac{U}{d}$=$\frac{0.4}{1}V/m=0.4V/m$…②
由 ①②得：$a=\frac{qE}{m}=1.0×1{0}_{\;}^{3}×0.4=400m/{s}_{\;}^{2}$
（2）假设粉尘微粒从E点进入磁场，轨道圆的圆心为O′，四边形EOMO′为菱形，所以有：
OM=O'E=R=$\frac{L}{2}$，

粉尘在磁场中的轨迹半径应为：$r=\frac{L}{2}=0.25m$…③
粉尘经加速电场到CD处时，由动能定理有：$qU'=\frac{1}{2}m{v^2}-0$…④
在磁场中，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$…⑤
由 ③④⑤得：$U'=\frac{{q{B^2}{L^2}}}{8m}$=0.2V      
答：（1）粉尘在金属板之间运动的加速度为400$m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）为了使从狭缝AB飘入的所有粉尘都被放置于M点的装置所收集，金属板间需加的电压0.2V．

点评 本题是信息题，考查带电粒子在电场和磁场中的运动，关键是理清运动的情境，选择合适的规律求解，结合几何关系综合求解，难度较大．