Question

（2007?南京一模）在如图所示的水平导轨（摩擦、电阻忽略不计）处于竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感强度B，导轨左端的间距为L₁=4l₀，右端间距为L₂=4l₀，两段导轨均足够长．今在导轨上放置AC、DE两根导体棒，质量分别为m₁=2m₀，m₂=m₀．电阻分别为R₁=4R₀，R₂=R₀．若AC棒以初速度v₀向右运动，求：
（1）定性描述全过程中AC棒的运动情况
（2）两棒在达到稳定状态前加速度之比

a1

a2

是多少？
（3）运动过程中DE棒产生的总焦耳热Q_DE．

Answer 1

分析：（1）通过分析AC棒的受力情况，来分析其运动情况．AC棒向右运动，回路中产生顺时针感应电流，AC棒受安培力的作用后减速运动；DE棒受安培力产生加速度向右运动，回路中磁通量的变化减慢，感应电动势减小，感应电流逐渐减小，两棒所受的安培力均减小，最终回路中感应电流为零．不再受安培力，最终都做匀速运动．
（2）根据牛顿第二定律和安培力公式求解加速度之比．
（3）最终两棒做匀速运动，产生的感应电动势大小相等，即可求得两棒速度的关系．运用动量定理，分别对AC棒、DE棒列式，求出稳定时两棒的速度，再根据能量守恒求热量．

解答：解：（1）A、C棒向右运动，回路中产生顺时针感应电流，AC棒受安培力的作用后减速；DE棒受安培力产生加速度向右运动，回路中磁通量的变化减慢，感应电流逐渐减小，因此两棒所受的安培力均减小，最终两棒产生的感应电动势大小相等，回路中感应电流为零，两棒不再受安培力，则知AC棒做加速度减小的减速运动，最终匀速运动，
（2）两棒达到稳定之前AC、DE棒中通过的电流大小始终相等，设加速度分别为a₁和a₂
 根据牛顿第二定律得
 a₁=

F1

m1

=

BIL1

m1

 a₂=

F2

m2

=

BIL2

m2

 又题意 m₁=4m₂  L₁=4L₂   
解得

a1

a2

=

L1m2

L2m1

=

2

1

 　　　                        
（3）两棒在达到稳定之前，回路中始终存在磁通量的变化，有感应电流就会产生焦耳热．当两棒运动速度满足一定关系时，回路中的磁通量不变，则总电动势为零，两棒均做匀速运动，不再产生热量．设两棒最终速度分别为v₁、v₂，取向右为正方向．则有
 BL₁v₁=BL₂v₂  得  v₁=

v2

4

根据动量定理得：
 对AC棒：-B

.

I

L₁△t=m₁△v
-∑B

.

I

L₁△t=∑m₁△vt
-B

.

I

L₁△t=m₁v₁-m₁v₀ 　　　　　　　　　　　
同理，对DE棒有：B

.

I

L₂t=m₂v₂-0                    　    
解方程得：v₁=

v0

9

    v₂=

4v0

9

                                  
由于两棒串联，产生的焦耳热之比为

QAC

QDE

=

R1

R2

=

4

1

                                                   
根据能量守恒定律得：Q_DE=

1

5

（

1

2

m1

v

2 0

-

1

2

m1

v

2 1

-

1

2

m2

v

2 2

）=

77

405

m₀v

2 0

   
答：
（1）AC棒做加速度减小的减速运动，最终匀速运动，
（2）两棒在达到稳定状态前加速度之比

a1

a2

是

2

1

．
（3）运动过程中DE棒产生的总焦耳热Q_DE为

77

405

m₀v

2 0

．

点评：本题的解题关键是分析两棒的运动情况，抓住稳定时的条件：两棒的感应电动势大小相等，运用动量定理求速度关系．