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如图所示,ABCDE为固定在竖直平面内的轨道,ABC为直轨道,AB光滑,BC粗糙,CDE为光滑圆弧轨道,轨道半径为R,直轨道与圆弧轨道相切于C点,其中圆心O与BE在同一水平面上,OD竖直,∠COD=θ,(θ<10°).现有一质量为m的小物体(可以看作质点)从斜面上的A点静止滑下,小物体与BC间的动摩擦因素为μ,现要使小物体第一次滑入圆弧轨道即刚好做简谐运动(重力加速度为g).求:
(1)小物体过D点时对轨道D点的压力大小.
(2)直轨道AB部分的长度S.
分析:先根据机械能守恒定律求出到达D点时的速度大小然后根据牛顿第二定律列方程求所受支持力的大小;
对全过程应用动能定理列方程即可求解.
解答:解:(1)小物体下滑到C点速度为零.
小物体才能第一次滑入圆弧轨道即刚好做简谐运动.
从C到D由机械能守恒定律有:mgR(1-cosθ)=
1
2
mvD2    ①
在D点用向心力公式有:F-mg=m
vD2
R
 ②
解以上二个方程可得:F=3mg-2mgcosθ
由牛顿第三定律可得小物体对D点的压力大小F′=3mg-2mgcosθ
(2)从A到C由动能定理有:
mgsinθ(S+Rcotθ)-μmgcosθ?Rcotθ=0
解方程得:S=(μcot2 θ-cotθ)R
答:(1)小物体过D点时对轨道D点的压力大小3mg-2mgcosθ.
(2)直轨道AB部分的长度S为(μcot2 θ-cotθ)R.
点评:本题是动能定理、向心力公式知识的综合,小物体下滑到C点速度为零,小物体才能第一次滑入圆弧轨道即刚好做简谐运动.
练习册系列答案
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BCD
是半径为R的半圆弧轨道,
DE
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BCD
DE
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