Question

两块平行金属板MN、PQ水平放置，板长为L，两板间距离为

3

L在紧靠平行板右侧的正三角形区域内存在着垂直纸面的匀强磁场，三角形底边BC与PQ在同一水平线上，顶点A与MN在同一水平线上，如图所示．一个质量为m、电荷量为+q的粒子沿两板间中心线以初速度v?水平射入，若在两板间加某一恒定电压，粒子离开电场后恰好垂直AB边进入磁场，并垂直AC边射出．不计粒子的重力，整个装置都处于真空中．求：

（1）两极板间电压的大小．
（2）三角形区域内的磁感应强度的大小．
（3）粒子从开始进入电场到从AC边射出经历的时间．

Answer 1

分析：（1）带电粒子先电场偏转，后进磁场做匀速圆周运动，由题知粒子离开电场后恰好垂直AB边进入磁场，说明电场中偏转的角度为30°，运用运动的分解，可求速度间的关系，得到离开电场时的速度，由牛顿第二定律和运动学公式即可求解；
（2）由几何关系，结合运动的半径公式，从而可确定磁场的大小，由运动轨迹，结合左手定则可确定磁场的方向；
（3）分别求出粒子匀速直线运动和磁场中运动的时间，即得到总时间．

解答：解：（1）垂直AB边进入磁场，由几何知识得：粒子离开电场时偏转角为30°
∵v_y=at=

qU

md

?

L

v0

tanθ=

vy

v0

∴解得板间电压U=

3 md v 2 0

3qL

（2）由几何关系得：L_AB=

d

cos30°

=

3 L

cos30°

=2L
在电场中：粒子集团的距离为y=

vy

2

t=

v0tanθ

2

?

L

v0

=

3

6

L
则粒子在磁场中运动半径r=L_AB-（

3

2

L-y）cos30°=

3

2

L
磁场中运动的速率为v=

v0

cos30°

=

2 3

3

v0
由qvB=m

v2

r

得B=

mv

qr

=

4 3 mv0

9qL

（2）粒子从离开电场到磁场的过程做匀速直线运动，时间为t′=

ysin30°

v

=

L

8v0

粒子磁场中轨迹的圆心角θ=60°，则在磁场中运动的时间为t″=

π 3 r

v

=

3 πL

4v0

故粒子从开始进入电场到从AC边射出经历的时间为t_总=t+t′+t″=

L

v0

+

L

8v0

+

3 πL

4v0

=（

9

8

+

3 π

4

）

L

v0

答：
（1）两极板间电压的大小为

3 md v 2 0

3qL

．
（2）三角形区域内的磁感应强度的大小是

4 3 mv0

9qL

．
（3）粒子从开始进入电场到从AC边射出经历的时间是（

9

8

+

3 π

4

）

L

v0

．

点评：考查粒子在电场中偏转和在磁场中圆周运动问题，结合牛顿第二定律与几何关系来综合应用，掌握运动轨迹的半径与周期公式．