Question

17．如图所示，光滑的倾斜轨道与半径为R的圆形轨道相连接，质量为m的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，求：
（1）通过轨道点最低点时球对轨道压力多大？
（2）小球释放点离圆形轨道最低点多高？

Answer 1

分析 （1）要使小球恰能通过圆轨道的最高点，那么小球在最高点时，应该恰好由物体的重力作为向心力，由向心力的公式可以求得小球通过最高点的速度，由机械能守恒求出小球通过轨道最低点时的速度．在最低点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道对小球的支持力，从而得到小球对轨道的压力．
（2）由机械能守恒可以求得释放点离地面的高度．

解答 解：（1）小球恰能通过圆形轨道的最高点时，有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得 v_C=$\sqrt{gR}$
令小球通过最低点的速度为v_B，从B到C的过程，由机械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$mv_B²=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在最低点，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
由以上三式妥得：F=6mg．
由牛顿第三定律得小球对轨道的压力为：F′=F=6mg，方向竖直向下．
（2）从A到C的过程，由机械能守恒定律得：mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv_C²
又 v_C=$\sqrt{gR}$
联立解得 H=2.5R
答：
（1）通过轨道点最低点时球对轨道的压力是6mg，方向竖直向下．
（2）小球释放点离圆形轨道最低点为2.5R．

点评 本题是圆周运动中轻绳的模型，关键应明确小球通过圆轨道的最高点的临界条件是：重力等于向心力，在最低点由合力充当向心力．