Question

10．如图甲所示，一竖直面内的轨道是由粗糙斜面AB和光滑圆轨道BCD组成，AB与BCD相切于B点，C为圆轨道的最低点．将小物块（可看作质点）置于轨道ABC上离地面高为H处由静止下滑，可用力传感器测出其经过C点时对轨道的压力F_N．现将小物块放在ABC上不同高度处，让H从零开始逐渐增大，传感器测出小物块每次从不同高度处下滑到C点时对轨道的压力F_N，得到如图乙两段直线PQ和QI，且IQ反向延长线与纵轴交点坐标值为5N，g取10m/s²．则

（1）小物块的质量m为多少？
（2）若小物块由斜面上某点从静止开始运动，恰好能通过圆轨道最高点D，求小物块在C点对轨道的压力F_N大小为多少？
（3）小物块在斜面上某点由静止开始运动，并能通过C点．某同学根据图象所给信息求出圆轨道半径R=2m，轨道BC部分所对应的圆心角为θ=60°．请你再结合图象所给的信息求出斜面对小物体的滑动摩擦力大小为多少？

Answer 1

分析 （1）从图象得到H=0时的弹力，即为物体的重力，从而得到物体的质量m；
（2）在D点由牛顿第二定律列方程，从C到D过程应用动能定理列方程，可以求出物块对轨道的压力F_N大小；
（3）对滑块从最高点到C点的过程运用动能定理列式，再对最低点运用向心力公式和牛顿第二定律列式，联立后求解出弹力的一般表达式，再根据图象求解出滑动摩擦力的大小．

解答 解：（1）由图象可知，当H=0时：F_N=4N，
  F_N=mg，则得物块的质量为 m=0.4kg；
（2）在D点，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由C到D的过程，由动能定理得：-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C点，由牛顿第二定律：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F_N=24N；
由牛顿第三定律知，小物块在C点对轨道的压力F_N大小为24N．
（3）在C点由牛顿第二定律：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$；
由动能定理得：mgH-$\frac{f（H-l）}{sin60°}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得，F_N=（2mg-$\frac{4f}{\sqrt{3}}$）$\frac{H}{R}$+$\frac{4f}{\sqrt{3}}$+mg，
图象QI段斜率：k=（2mg-$\frac{4f}{\sqrt{3}}$）•$\frac{1}{R}$=$\frac{8-5}{1}$=3，f=$\frac{\sqrt{3}}{2}$N；
答：
（1）小物块的质量m为0.4kg．
（2）小物块在C点对轨道的压力F_N大小为24N．
（3）斜面对小物体的滑动摩擦力大小为$\frac{\sqrt{3}}{2}$N．

点评 本题根据动能定理和圆周运动的规律，再结合图线的数学意义，求解轨道半径等，是常用的数形结合的方法．