Question

20．如图所示，竖直平面内一光滑水平轨道的右端与一半径R=0.4m的竖直固定粗糙$\frac{1}{4}$圆周轨道在O点平滑相接，且过O点的$\frac{1}{4}$圆周轨道切线水平，物块A、B（可视为质点）静置于光滑水平轨道上，A、B的质量分别为m_A=1.5kg和m_B=0.5kg．现使A以大小v_A=8m/s的速度向右运动并与B碰撞，碰撞后立即粘在一起向右运动，到达$\frac{1}{4}$圆周轨道的最高点P后竖直向上抛出，经时间t=0.6s落回P点．空气阻力不计，取g=10m/s²．求：
（1）A、B整体滑到$\frac{1}{4}$圆周轨道的最高点P时对轨道的压力大小F；
（2）A、B整体沿$\frac{1}{4}$圆周轨道向上滑动到P点的过程中由于摩擦产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）A、B整体离开P点后做竖直上抛运动，根据运动时间求出整体经过P点时的速度．在P点，由水平方向的合力提供向心力，由牛顿定律求整体对轨道的压力大小F；
（2）对A与B碰撞过程，运用动量守恒定律求得碰后的共同速度．再由能量守恒定律求热量Q．

解答 解：（1）A、B整体到达最高点P后，整体做竖直上抛运动，可知其到达P点时的速度大小为：
v_P=g•$\frac{t}{2}$=10×$\frac{0.6}{2}$=3m/s
设A、B整体滑到$\frac{1}{4}$圆周轨道的最高点P时轨道的弹力大小为N．整体在P点时，由牛顿第二定律得：
F=（m_A+m_B）$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
代入数据解得：N=45N
由牛顿第三定律知，整体滑到半圆轨道的最高点P时对轨道的压力大小为：
N′=N=45N
（2）设A与B碰撞后共同速度为v，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
m_Av_A=（m_A+m_B）v．
代入数据解得：v=6m/s
整体从O到P的过程，由能量守恒定律得由于摩擦产生的热量为：
Q=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v_O²-（m_A+m_B）gR-$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v_P²
解之得：Q=19J
答：（1）A、B整体滑到$\frac{1}{4}$圆周轨道的最高点P时对轨道的压力大小是45N；
（2）A、B整体沿$\frac{1}{4}$圆周轨道向上滑动到P点的过程中由于摩擦产生的热量是19J．

点评 本题综合了牛顿运动定律、竖直上抛运动、能量守恒定律、动量守恒定律等多方面的知识，分析物体的运动过程，把握解题规律是关键，要抓住竖直上抛运动的对称性．