Question

如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。y<0的区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在第一象限的空间内有与x轴平行的匀强电场（图中未画出）；第四象限有与x轴同方向的匀强电场；第三象限也存在着匀强电场（图中未画出）。一个质量为m、电荷量为q的带电微粒从第一象限的P点由静止释放，恰好能在坐标平面内沿与x轴成θ=30°角的直线斜向下运动，经过x轴上的a点进入y<0的区域后开始做匀速直线运动，经过y轴上的b点进入x<0的区域后做匀速圆周运动，最后通过x轴上的c点，且Oa=Oc。已知重力加速度为g，空气阻力可忽略不计。求：

（1）微粒的电性及第一象限电场的电场强度E₁；

（2）带电微粒由P点运动到c点的过程中，其电势能的变化量大小；

（3）带电微粒从a点运动到c点所经历的时间。

Answer 1

（1）在第一象限内，带电微粒从静止开始沿Pa做匀加速直线运动，受重力mg和电场力qE₁的合力一定沿Pa方向，电场力qE₁一定水平向左。…………………………1分

带电微粒在第四象限内受重力mg、电场力qE₂和洛仑兹力qvB做匀速直线运动，所受合力为零。分析受力可知微粒所受电场力一定水平向右，故微粒一定带正电。………1分

所以，在第一象限内E₁方向水平向左（或沿x轴负方向）。………………………1分

根据平行四边形定则，有 mg=qE₁tanθ ………………………………………………1分

解得   E₁=mg/q  …………………………………………………………………1分

（2）带电粒子从a点运动到c点的过程中，速度大小不变，即动能不变，且重力做功为零，所以从a点运动到c点的过程中，电场力对带电粒子做功为零。………………1分

由于带电微粒在第四象限内所受合力为零，因此有  qvBcosθ=mg ………………1分

带电粒子通过a点的水平分速度v_x=vcosθ= ……………………………………1分

带电粒子在第一象限时的水平加速度a_x=qE₁/m=g……………………………1分

带电粒子在第一象限运动过程中沿水平方向的位移x=……………0.5分

由P点到a点过程中电场力对带电粒子所做的功W_电=qE₁x=………………1分

因此带电微粒由P点运动到c点的过程中，电势能的变化量大小

ΔE_电=…………………………………………………………0.5分

说明：其他方法正确的同样得分。但用动能定理的水平分量式求解的不能得分。

（3）在第三象限内，带电微粒由b点到c点受重力mg、电场力qE₃和洛仑兹力qvB做匀速圆周运动，一定是重力与电场力平衡，所以有qE₃=mg ………………………………1分

设带电微粒做匀速圆周运动的半径为R，

根据牛顿第二定律，有  qvB=mv²/R     …………………………………………………1分

带电微粒做匀速圆周运动的周期

T=  ……………………………………………………………………………1分

带电微粒在第三象限运动的轨迹如图所示，连接bc弦，因Oa=Oc，所以Δabc为等腰三角形，即∠Ocb=∠Oab=30°。过b点做ab的垂线，与x轴交于d点，因∠Oba=60°，所以∠Obd=30°, 因此Δbcd为等腰三角形，bc弦的垂直平分线必交于轴上的d点,即d点为圆轨迹的圆心………………………………………………………………………… 1分

所以带电粒子在第四象限运动的位移x_ab=Rcotθ=R

其在第四象限运动的时间t₁= ……………………………………………1分

由上述几何关系可知，带电微粒在第三象限做匀速圆周运动转过的圆心角为120°，即转过1/3圆周，所以从b到c的运动时间  t₂= ……………………………1分

因此从a点运动到c点的时间  t=t₁+t₂=+=………………1分