Question

如图所示，在Oxy平面的第一象限和第二象限区域内，分别存在场强大小均为E的匀强电场I和II，电场I的方向沿X轴正方向，电场II的方向沿Y轴的正方向。在第三象限内存在垂直于Oxy平面的匀强磁场III，Q点的坐标为（-x₀，0）。已知电子的电量为-e，质量为m（不计电子所受重力）。

   （1）在第一象限内适当位置由静止释放电子，电子经匀强电场I和II后恰能通过Q点。

        求释放占的位置坐标x、y应满足的关系式；

   （2）若要电子经匀强电场I和II后过Q点时动能最小，电子应从第一象限内的哪点由静止释放？求该点的位置和过Q点时的最小动能。

   （3）在满足条件（2）的情况下，若想使电子经过Q后再次到达y轴时离坐标原点的距离为x₀，求第三象发内的匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向。

 

Answer 1

（1）设电子从第一象限内坐标为处由静止释放能过Q点，到达y轴时的速度为，

    由动能定理得：                                                  ①                     1分

    若能到达Q，则应满足：                                         ②                     1分

                                                                                      ③                     1分

                                                                                      ④                     1分

    联立①②③④得：                                                     ⑤                     1分

   （2）由动能定理得：电子从P由静止释放，经匀强电场I和II后过Q点时动能：

                                                                          ⑥                     1分

    而（当x=y时取“=”）                                       ⑦                     1分

    由⑤⑥⑦得：时取“=”  ⑧1分

    所以电子从第一象限内的点由静止释放过Q点时动能最小，最小动能是

   （3）若区域III中的匀强磁场方向垂直纸面向里，则电子左偏，不会再到达y轴，所以匀强磁场方向垂直纸面向外。运动轨迹如图，则：

   

    而   

    在满足条件（2）的情况下所以            ⑨                     1分

    设在区域III中做匀速圆周运动的半径为r，到达y轴上的A点，结合题中条件可推知，电子在幸亏中运动的轨迹应为以QA为直径的半圆，OA=x₀，由几何知识知：

                                                                                  ⑩                     2分

    设到达Q点的速度为v₁，则                              （11）              1分

    解得：                                                               （12）              1分

    根据牛顿第二定律：  解得                  （13）              2分

    把的值代入，第三象限内的匀强磁场的磁感应强度

                     （14）    1分