Question

如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，轮半径R= m，两轮轴心相距L=3.75m，A、B分别使传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑．一个质量为0.1kg的小物块与传送带间的动摩擦因数为μ=．g取10m/s²．
（1）当传送带沿逆时针方向以v₁=3m/s的速度匀速运动时，将小物块无初速地放在A点后，它运动至B点需多长时间？（计算中可取≈16，≈20）
（2）小物块相对于传送带运动时，会在传送带上留下痕迹．当传送带沿逆时针方向匀速运动时，小
物块无初速地放在A点，运动至B点飞出．要想使小物块在传送带上留下的痕迹最长，传送带匀速运动的速度v₂至少多大？

Answer 1

解：（1）当小物块速度小于3m/s时，小物块受到竖直向下的重力、垂直传送带向上的支持力和沿传送带斜向下的摩擦力作用，做匀加速直线运动，设加速度为a₁，根据牛顿第二定律
mgsin30°+μmgcos30°=ma₁①
解得 a₁=7.5m/s²
当小物块速度等于3m/s时，设小物块对地位移为L₁，用时为t₁，根据匀加速直线运动规律得
②
③
代入解得 t₁=0.4 s L₁=0.6 m
由于L₁＜L 且μ＜tan30°，当小物块速度等于3m/s时，小物块将继续做匀加速直线运动至B点，设
加速度为a₂，用时为t₂，根据牛顿第二定律和匀加速直线运动规律得
mgsin30°-μmgcos30°=ma₂④
解得 a₂=2.5m/s²
又L-L₁=v₁t₂+a₂t₂²⑤
解得 t₂≈0.8 s
故小物块由静止出发从A到B所用时间为 t=t₁+t₂=1.2s
（2）传送带匀速运动的速度越大，小物块从A点到B点用时越短，当传送带速度等于某一值v′时，小物块将从A点一直以加速度a₁做匀加速直线运动到B点，所用时间最短，设用时t₀，即
L=a₁t₀²⑥
解得t₀=1s
传送带的速度继续增大，小物块从A到B的时间保持t₀不变，而小物块和传送带之间的相对路程继续增大，小物块在传送带上留下的痕迹也继续增大；当痕迹长度等于传送带周长时，痕迹为最长S_max．
设此时传送带速度为v₂，则
S_max=2L+2πR⑦
S_max=v₂t₀-L ⑧
联立⑥⑦⑧解得 v₂=12.25m/s
答：
（1）将小物块无初速地放在A点后，它运动至B点需1.2s时间．
（2）要想使小物块在传送带上留下的痕迹最长，传送带匀速运动的速度v₂至少为12.25m/s．
分析：（1）根据牛顿第二定律和运动学公式分析小物块的运动情况．先由牛顿第二定律求出小物块沿传送带向下匀加速运动的加速度，由运动学公式求出物块速度与传送带相等时所经过的时间和通过的位移，判断物块的速度与传动带速度相等以后物体的运动情况，再根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解运动时间．
（2）小物块相对于传送带运动时，在传送带上留下痕迹等于两者相对路程的大小．分析传送带速度与留下的痕迹长度的关系，确定什么条件下痕迹最长，再由运动学公式求出传送带匀速运动的速度v₂．
点评：本题的关键之处在于分析物块的运动情况，也可以通过作速度图象分析．