Question

如图所示，粗糙的斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，整个装置竖直放置，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高．圆弧轨道半径R=0.5m，斜面长L=2M．现有一个质量m=0.1kg的小物体P从斜面AB上端A点无初速下滑，物体P与斜面AB之间的动摩擦因数为μ=0.25．求：
（1）物体P第一次通过C点时的速度大小和对C点处轨道的压力各为多大？
（2）物体P第一次离开D点后在空中做竖直上抛运动，不计空气阻力，则最高点E和D点之间的高度差为多大？
（3）物体P从空中又返回到圆轨道和斜面．多次反复，在整个运动过程中，物体P对C点处轨道的最小压力为多大？（取g=10m/s²，）

Answer 1

分析：（1）由动能定理可求得物体在C点的速度，C点物体做圆周运动，则由牛顿第二定律充当向心力可求得支持力；
（2）从C到E由动能定理可求得AE的竖直高度，从而求出D到E的高度；
（3）由于摩擦力的作用，物体最后将在BC部分做圆周运动，

解答：（1）物体P从A下滑经B到C过程中根据动能定理：

1

2

mυ02-0=mg(Lsin37°+R-Rcos37°)-μmgLcos37°
υ0=

2g(Lsin37°+R-Rcos37°)-2μgLcos37°

=

18

m/s=4.24m/s
经C点时N0-mg=m

υ 2 0

R

Nc=mg+m

υ 2 c

R

=4.6N
根据牛顿第三定律，P对C点的压力N′_c=N_c=4.6N
（2））从C到E机械能守恒

1

2

m

υ

2 c

=mg(R+hED)
E与D间高度差hED=-

υ 2 c

2g

-R=0.4m
（3）物体P最后在B与其等高的圆弧轨道上来回运动时，经C点压力最小，由B到C根据机械能守恒mgR(1-cos37°)=

1

2

mυ

′

2 c

υc=

2gR(1-cos37°)

=

2

m/s
Ncz=mg+m

υ ′ 2 c

R

=0.1×10+0.1×

2

0.5

=1.4N
根据牛顿第三定律压力N'c₂=Nc₂=1.4N
答：（1）速度大小为4.24m/s，压力为4.6N．
（2）D到 E的高度为0.4m．
（3）最小压力为1.4N．

点评：在考查力学问题时，常常将动能定理、机械能守恒及牛顿第二定律等综合在一起进行考查，并且常常综合平抛、圆周运动及匀变速直线运动等运动的形式．