Question

如图所示，空间中有一处于竖直方向的圆柱形磁场区域，取圆柱的竖直轴线为x轴，原点为0,该竖直轴线也是空间磁场的旋转对称轴，且磁场大致指向：轴正方向，磁感应强度沿x轴分量，式子中C、k为已知常数，且保证足够大空间范围内B_x＞0。一个半径为r的细线圈水平置于0处，其中心轴线与轴重合，线圈质量为m，单位长度的电阻为。将线圈由口处静止释放，线圈下落过程中其轴线始终与x轴重合，当线圈下降高度h时速度大小为v，不考虑线圈的自感和空气阻力，重力加速度为g，求：

（1)线圈下落h过程中产生的热量Q

（2）线圈下落h时感应电流1的大小和方向；

(3)线圈最终的稳定速度v_m的大小。

Answer 1

 (1)根据能量守恒定律得Q=mgh-mυ²                                       (3分)

(2)穿过线圈的磁通量Φ=πr²B_x=πr²(C-kx)                                    (1分)

设在极短的△t时间内，线圈由x₁=h处下落到x₂=h+Δx处，则磁通量减少量

ΔΦ=Φ₁-Φ₂=πr²kΔx                                                     (1分)

据法拉第电磁感应定律，线圈产生的感应电动势E=  =πr²k            (1分)

根据速度定义υ=                                                    (1分)

得 E=πr²kv                                                           (1分)

线圈总电阻R=2πrλ                                                    (1分)

根据闭合电路欧姆定律，线圈中感应电流大小I=                   (2分)

根据楞次定律，线圈中感应电流的方向为顺时针方向(顺着x轴正方向看)     (1分)

(3)设线圈所在处的磁感应强度沿线圈半径方向的分量为B_r，从线圈切割磁感线的角度可得

感应电动势大小  E = B_r·2πr·v                                          (2分)

得 B_r=                                                            (1分)

线圈所受安培力大小 F=B_rI ·2πr =                                  (2分)

当线圈速度达到最大时，安培力和重力相等，即  =mg                (2分)

解得线圈最大速度  v_m=                                           (1分)