Question

6．坐标原点O处有一放射源，它向xOy平面内的x轴下方各个方向源源不断地发射速度大小都是v₀的带电粒子，粒子的质量为m、电量为q；在0＜y＜d的区域内分布有指向y轴正方向的匀强电场，在y≥d的区域内分布有垂直于xOy，平面向里的匀强磁场，磁感应强度B=$\frac{{4m{v_0}}}{qd}$如图所示．测得进入磁场的粒子的速率均为2v₀，（忽略粒子的重力以及彼此间的相互作用）
（1）现将一块足够大的平面感光板ab垂直于y轴放置于电场与磁场的分界面MN处，求ab板上被粒子打中的区域的长度
（2）若将这块平面感光板在磁场内垂直于y轴放置，且发现此时恰好无粒子打到ab板上，请确定感光板到x轴的距离d′
（3）若将平面感光板ab撤去，所有粒子将返回电场中，且不再返回磁场．请确定粒子在磁场中运行的最短时间．

Answer 1

分析 （1）粒子沿x轴正方向或负方向射出的粒子打在ab板上时水平位移最大，该水平位移大小的2倍等于ab板上被粒子打中的区域的长度．该带电粒子在电场中类平抛运动，根据类平抛运动的分位移与时间的关系求解．
（2）带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动，结合几何关系得出粒子的轨道半径，从而得出感光板到x轴的距离．
（3）沿x轴正方向发射的粒子在磁场中运动时间最短，由几何关系求得轨迹对应的圆心角，即可求解最短的时间．

解答 解：（1）带电粒子进入磁场的粒子的速率为2v₀，初速度为v₀，根据速度的分解可得：粒子进入磁场时沿y轴的分速度为 v_⊥=$\sqrt{（2{v}_{0}）^{2}-{v}_{0}^{2}}$=$\sqrt{3}{v}_{0}$
粒子沿x轴负或正方向射出的粒子打在ab板上时水平位移最大，如图所示．根据类平抛运动的规律得：
沿y轴方向，有 d=$\frac{{v}_{⊥}}{2}$t
沿x轴方向，有 x=v₀t
联立解得 x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d
所以ab板上被粒子打中的区域的长度L=2x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d
（2）若沿x轴正方向发射的粒子恰好打不到板上，则为题目所求情形，设粒子刚进入磁场时速度与水平方向的夹角为θ．
由几何关系可得：感光板到x轴的距离 d′=rcosθ+r+d
而tanθ=$\frac{{v}_{⊥}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{3}$，θ=60°
在磁场中，对粒子，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得 r=$\frac{mv}{qB}$
将v=2v₀，B=$\frac{{4m{v_0}}}{qd}$代入解得：r=$\frac{d}{2}$
所以感光板到x轴的距离d′=rcosθ+r+d=$\frac{d}{2}$×cos60°+$\frac{1}{2}$d+d=$\frac{7}{4}$d
（3）沿x轴正方向发射的粒子在磁场中运动时间最短，该粒子在磁场中转过的圆心角为120°．
在磁场中，粒子的运动周期为 T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
所以粒子在磁场中运行的最短时间为 t=$\frac{θ}{2π}T$=$\frac{πd}{6{v}_{0}}$
答：
（1）ab板上被粒子打中的区域的长度为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d．
（2）感光板到x轴的距离d′为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d．
（3）粒子在磁场中运行的最短时间为$\frac{πd}{6{v}_{0}}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键确定粒子运动的临界情况，通过几何关系解决，对学生数学几何能力要求较高．