Question

4．如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放里在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L． M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．导轨和金属杆的电阻可忽略．让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，经过足够长的时间后，金属杆达到最大速度v_m，在这个过程中，电阻R上产生的热量为Q．导轨和金属杆接触良好，它们之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ．已知重力加速度为g．
（1）求磁感应强度的大小；
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到$\frac{1}{3}$v_m时，求此时杆的加速度大小；
（3）求金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度．

Answer 1

分析 （1）金属杆先沿导轨向下做加速度减小的变加速运动，后做匀速运动，速度达到最大值，此时金属杆受力平衡，根据平衡条件和安培力公式，求出磁感应强度B的大小．
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到$\frac{1}{3}$v_m时，求出安培力，由牛顿第二定律求解加速度大小．
（3）金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中，其重力势能减小，转化为杆的动能、摩擦生热和电路中的焦耳热，根据能量守恒定律求解杆下降的高度

解答 解：（1）当杆达到最大速度时受力平衡，
由平衡条件得：mgsinθ=BIL+μN，N=mgcosθ，
电路中电流为：$I=\frac{E}{R}=\frac{{BL{v_m}}}{R}$，
解得：$B=\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{{L^2}{v_m}}}}$．
（2）当杆的速度为$\frac{1}{3}{v_m}$时，由牛顿第二定律得：
mgsinθ-BI'L-μN=ma，
此时电路中电流为：$I=\frac{E'}{R}=\frac{{BL{v_m}}}{3R}$
解得：$a=\frac{2}{3}gsinθ-\frac{2}{3}μgcosθ$．
（3）设金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度为h，
由能量守恒得：$mgh=\frac{1}{2}m{v_m}^2+Q+μmgcosθ•s$，
高度：h=s•sinθ，解得：$h=\frac{{m{v_m}^2+2Q}}{2mg（1-μcotθ）}$．
答：（1）磁感应强度的大小为$\sqrt{\frac{mgR（sinθ-μcosθ）}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到$\frac{1}{3}$v_m时，此时杆的加速度大小为$\frac{2}{3}$gsinθ-$\frac{2}{3}$μgcosθ；
（3）金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度为$\frac{m{v}_{m}^{2}+2Q}{2mg（1-μcotθ）}$．

点评 本题的关键是会推导安培力的表达式，根据平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒研究电磁感应现象，常规题．