Question

3．图1中，质量为m₁=1kg的物块叠放在质量为m₂=3kg的木板右端．木板足够长，放在光滑的水平地面上，木板与物块之间的动摩擦因数为μ₁=0.2．整个系统开始时静止，重力加速度g=10m/s²．

（1）在木板右端施加水平向右的拉力F，为使木板和物块发生相对运动，拉力F至少应为多大？
（2）在0～4s内，若拉力F的变化如图2所示，2s后木板进入μ₂=0.25的粗糙水平面，在图3中画出0～4s内木板和物块的v-t图象．
（3）求0～4s内物块在木板上留下的痕迹的长度．

Answer 1

分析 （1）当木板和物块刚要发生相对运动时，两者间的静摩擦力达到最大值，分别整体和物块运用牛顿第二定律可求得F的最小值．
（2）根据牛顿第二定律研究物块和木板的加速度，由运动学公式分段求出木板和物块的速度，即可画出v-t图象．
（3）物块在木板上留下的痕迹的长度等于物块与木板的相对位移大小，由位移公式求解．

解答 解：（1）把物块和木板看作整体，由牛顿第二定律得：F=（m₁+m₂）a
对物块，物块与木板将要相对滑动时有 μ₁m₁g=m₁a
联立解得 F=μ₁（m₁+m₂）g=8N
（2）物块在0～2s内做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有：μ₁m₁g=m₁a₁
解得 a₁=2m/s²；
2s末物块的速度为 v₁=a₁t₁=2×2=4（m/s）
木板在0～1s内做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有：F₁-μ₁m₁g=m₂a₂
解得 a₂=4m/s²；
1s末木板的速度 v₁′=a₂t₂=4×1=4（m/s）
在1～2s内 F₂=μ₁m₁g，木板做匀速运动，速度为4m/s
如果物块和木板一起减速运动，共同的加速度为 ${a_共}=\frac{{（{m_1}+{m_2}）g{μ_2}}}{{（{m_1}+{m_2}）}}=g{μ_2}$
m₁的合力m₁gμ₂＞f_m=m₁gμ₁
所以物块和木板相对滑动
2s后物块做匀减速直线运动，由牛顿第二定律有：-μ₁m₁g=m₁a₃
得：a₃=-2m/s²；
速度从4m/s减至零的时间 t₃=$\frac{0-{v}_{1}}{{a}_{3}}$=$\frac{0-4}{-2}$=2（s）
木板做匀减速直线运动有：-μ₂（m₁+m₂）g+μ₁m₁g=m₂a₄
得：a₄=-$\frac{8}{3}$m/s²；
速度从4m/s减至零的时间 t₄=$\frac{0-{v}_{1}′}{{a}_{4}}$=$\frac{-4}{-\frac{8}{3}}$=1.5（s）
二者在整个运动过程的v-t图象如图所示（实线是木板的v-t图象，虚线是物块的v-t图象）

（3）0～2s内物块相对木板向左运动  $△{x_1}=\frac{1}{2}{a_1}t_1^2+（{a_1}{t_1}）t{\;}_2-\frac{1}{2}{a_2}{（{t_1}+{t_2}）^2}$
2-4s内物块相对木板向右运动 $△{x_2}=\frac{{-{{（{a_1}{t_1}）}^2}}}{{2{a_4}}}-\frac{{-{{（{a_1}{t_1}）}^2}}}{{2{a_3}}}$
△x₁＞△x₂
所以0～4s内物块在木板痕迹的长度为△x=△x₁=2m
答：（1）为使木板和物块发生相对运动，拉力F至少应为8N．
（2）如图所示．
（3）0～4s内物块在木板上留下的痕迹的长度为2m．

点评 根据物体受力情况判断物体的运动情况，并根据牛顿第二定律及匀变速直线运动的基本公式解题的典型例题，要注意题中F是个变力，在1s后发生了改变，所以加速度也要发生变化．求位移差时也可根据速度时间图象与时间轴所围成的面积表示位移去求解．