Question

6．如图所示，竖直平面内的$\frac{3}{4}$圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成45°角的斜面．B端在O的正上方．一个小球在A点正上方由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆形轨道并恰能到达B点，求：
（1）释放点距A点的竖直高度；
（2）小球落到斜面上C点时的速度大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球恰能到达B点，说明此时恰好是物体的重力作为向心力，由向心力的公式可以求得在B点的速度大小；从开始下落到B的过程中，物体的机械能守恒，从而可以求得小球释放时距A点的竖直高度．
（2）离开B点后小球做平抛运动，根据水平方向的匀速直线运动，竖直方向上的自由落体运动可以求得小球落到斜面上时的速度．

解答 解：（1）小球恰能到达B点，在B点由重力提供向心力，则有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  
得：v=$\sqrt{gR}$ 
设小球的释放点距A点高度为h，小球从开始下落到B点，由机械能守恒定律，得：
mg（h-R）=$\frac{1}{2}$mv²；
得：h=1.5R 
（2）小球离开B点后做平抛运动，小球落到C点时有：
tan45°=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{vt}$=$\frac{gt}{2v}$
解得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
小球落在斜面上C点时竖直分速度为：v_y=gt=2$\sqrt{gR}$
小球落到C点得速度大小：v_C=$\sqrt{{v}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{5gR}$
小球落到C点时，设速度与水平方向夹角为ϕ：tanϕ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=2
则 ϕ=arctan2．
答：（1）释放点距A点的竖直高度是1.5R；
（2）小球落到斜面上C点时的速度大小为$\sqrt{5gR}$，方向与水平方向夹角的arctan2．

点评 小球的运动过程可以分为三部分，第一段是自由落体运动，第二段是圆周运动，此时机械能守恒，第三段是平抛运动，分析清楚各部分的运动特点，采用相应的规律求解即可．