Question

2008 年4月25日中国成功发射了首颗数据中继卫星“天链一号”，卫星准确定点于地球同步轨道．中继卫星享有“卫星的卫星”之誉，可为卫星、飞船等航天器提供数据中继和测控服务，极大地提高了各类卫星使用效益和应急能力．现用“天链一号”卫星对某始终飞行在地球赤道上空的“资源卫星”实施数据中继和测控服务．设地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，“资源卫星”和“天链一号”卫星绕地球飞行时距地面的高度分别为h₁和h₂（h₁＜h₂）．求：
（1）该“资源卫星”绕地球运行的周期；
（2）忽略由于“天链一号”卫星的运行对测控范围的影响，试估算：在“资源卫星”运行一个周期的时间内“天链一号”卫星对它测控的时间．

Answer 1

分析：1、地球对“资源卫星”的万有引力提供向心力G

Mm

(R+h1)2

=m

4π2

T12

(R+h1)，地球表面的物体受到的重力等于万有引力m0g=G

Mm0

R2

，可解得该“资源卫星”绕地球运行的周期T₁．
2、画出“天链一号”卫星与“资源卫星”的空间关系图型，根据空间的位置关系结合几何知识求解“天链一号”卫星测控的角度最大范围θ，所以测控时间t=

θ

2π

T1，代入数据计算即可．

解答：解：（1）对“资源卫星”绕地球运动，地球对它的万有引力提供向心力G

Mm

(R+h1)2

=m

4π2

T12

(R+h1)　　   
地球表面的物体受到的重力等于万有引力m0g=G

Mm0

R2

由以上二式解得：T₁=

2π

R

(R+h1)3 g

（2）设A为“天链一号”卫星，过A作地球的切线AB和AC，则∠COB所对应的圆弧（大）即为测控范围．由O作垂线OE、OD如图所示，则由几何知识有：
cosα=

R

R+h1

   即：α=arccos

R

R+h1

       
cosβ=

R

R+h2

即：β=arccos

R

R+h2

 　　　
所以∠COB=2（α+β）=2（arccos

R

R+h1

+arccos

R

R+h2

）　　　
所以测控时间为  t=

∠COB

2π

T1
解得t=

2

R

(R+h1)3 g

（arccos

R

R+h1

+arccos

R

R+h2

）
答：（1）该“资源卫星”绕地球运行的周期为

2π

R

(R+h1)3 g

；
（2）在“资源卫星”运行一个周期的时间内“天链一号”卫星对它测控的时间为

2π

R

(R+h1)3 g

（arccos

R

R+h1

+arccos

R

R+h2

）．

点评：本题关键是能够画出“天链一号”卫星与“资源卫星”的空间关系图型，根据空间的位置关系结合几何知识求解测控时间，正确作图是解题关键．