Question

(18分)如图所示，劲度系数k＝100N/m的一根轻质弹簧，右端固定在竖直墙壁上，左端连接一质量m＝1.0kg的小物块，开始时弹簧处于原长，小物块静止于O点，现将小物块缓慢向左拉动至A点后释放，让小物块沿水平面向右运动起来，已知OA长度L＝0.25m，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1，最大静摩擦力可看成等于滑动摩擦力的大小，g取10m/s²。

⑴试在坐标纸中作出小物块在由O移动到A的过程中，弹簧弹力F随伸长量x变化的F-x图象，类比于由v-t图象求位移的方法，求此过程中克服弹簧弹力做的功W；
⑵求小物块从A点向右运动过程中的最大速度v；
⑶求小物块从A点开始运动后，第一次到达最右端时，弹簧的形变量；
⑷求小物块从A点开始运动直至静止的总路程。

Answer 1

⑴
，W＝3.125J；
⑵v＝2.4m/s；⑶x₁＝0.23m；⑷s＝3.12m

试题分析：根据胡克定律可知，弹簧弹力F与伸长量x的关系为：F＝kx＝100x，其中0≤x≤0.25m
其F-x图象如下图所示

在F-x图象中图线与x轴所围的面积即表示了此过程中克服弹簧弹力做的功，有：W＝＝3.125J
⑵小物块从A点向右运动过程中受重力mg、地面的支持力N和滑动摩擦力f，以及弹簧弹力F作用，根据牛顿第二定律分析可知，此时小物块向右先做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减小为零时，其速度达到最大，设此时弹簧的拉伸量为x₀，有：kx₀＝μmg
解得：x₀＝0.01m
此过程中弹簧弹力做的功为：W₀＝×0.24J＝3.12J
根据动能定理有：W₀－μmg(L－x₀)＝－0
解得：v＝2.4m/s
⑶设小物块第一次到达最右端时，弹簧的压缩量为x₁，小物块从A点运动到最右端的过程中，弹簧弹力先做正功，后做负功，根据动能定理有：－－μmg(L＋x₁)＝0－0
解得：L－x₁＝＝0.02m，即x₁＝0.23m
⑷设从A点释放小物块后，小物块共出现n次速度为零，且只要kx＞μmg，小物块总能回到O点，在满足kx＞μmg时，小物块每一次由最右端运动至最左端或由最左端运动至最右端(即小物块连续两次速度为零)的过程中，弹簧总是先做正功再做负功，设物块第n－1次速度为零时，弹簧的形变量为x_n－1，第n次速度为零时，弹簧的形变量为x_n，根据动能定理有：－－μmg(x_n－1＋x_n)＝0－0
解得：Δx＝x_n－1－x_n＝0.02m
有：k(L－nΔx)≤μmg＜k[L－(n－1)Δx]，解得：12≤n＜13，即取n＝12
对全程，根据动能定理有：－－μmgs＝0－0
解得：s＝＝3.12m